ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На параболе \(y = x^2\) отметили три точки \(A(x; y)\), \(B(x_2; y_2)\), \(C(x_3; y_3)\) так, что \(\angle ABC = 90^\circ\). Докажите, что \((x_1 + x_2)(x_2 + x_3) = -1\).
Точки \(A(x_1, x_1^2)\), \(B(x_2, x_2^2)\), \(C(x_3, x_3^2)\) лежат на параболе \(y = x^2\). Условие \(\angle ABC = 90^\circ\) означает, что векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярны:
\((x_1 — x_2)(x_3 — x_2) + (x_1^2 — x_2^2)(x_3^2 — x_2^2) = 0\).
Раскроем разности квадратов:
\((x_1 — x_2)(x_3 — x_2) + (x_1 — x_2)(x_1 + x_2)(x_3 — x_2)(x_3 + x_2) = 0\).
Вынесем общий множитель:
\((x_1 — x_2)(x_3 — x_2)(1 + (x_1 + x_2)(x_3 + x_2)) = 0\).
Так как \(x_1 \neq x_2\) и \(x_3 \neq x_2\), то:
\(1 + (x_1 + x_2)(x_3 + x_2) = 0\),
откуда следует:
\((x_1 + x_2)(x_2 + x_3) = -1\).
Пусть даны три точки \(A(x_1, x_1^2)\), \(B(x_2, x_2^2)\), \(C(x_3, x_3^2)\), лежащие на параболе \(y = x^2\). Это значит, что координаты точек связаны зависимостью \(y = x^2\), и для каждой точки ордината равна квадрату абсциссы. Рассмотрим угол \(\angle ABC\), вершина которого находится в точке \(B\). Условие, что этот угол прямой, означает, что векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярны. Векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) можно записать как разности координат: \(\overrightarrow{BA} = (x_1 — x_2, x_1^2 — x_2^2)\), \(\overrightarrow{BC} = (x_3 — x_2, x_3^2 — x_2^2)\).
Перпендикулярность векторов выражается условием равенства их скалярного произведения нулю. Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равно сумме произведений соответствующих компонент: \((x_1 — x_2)(x_3 — x_2) + (x_1^2 — x_2^2)(x_3^2 — x_2^2) = 0\). Здесь важно заметить, что каждое слагаемое — это произведение разностей координат по осям \(x\) и \(y\). Для удобства упростим выражение, раскрыв квадратные разности: \(x_1^2 — x_2^2 = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2)\), \(x_3^2 — x_2^2 = (x_3 — x_2)(x_3 + x_2)\).
Подставив эти разложения, получаем: \((x_1 — x_2)(x_3 — x_2) + (x_1 — x_2)(x_1 + x_2)(x_3 — x_2)(x_3 + x_2) = 0\). В этом выражении можно вынести общий множитель \((x_1 — x_2)(x_3 — x_2)\), так как он присутствует в обоих слагаемых. Тогда уравнение примет вид: \((x_1 — x_2)(x_3 — x_2)(1 + (x_1 + x_2)(x_3 + x_2)) = 0\). Поскольку \(x_1 \neq x_2\) и \(x_3 \neq x_2\) (иначе точки совпадают и угол не определён), то множители \((x_1 — x_2)\) и \((x_3 — x_2)\) не равны нулю. Следовательно, должно равняться нулю выражение в скобках: \(1 + (x_1 + x_2)(x_3 + x_2) = 0\).
Отсюда выводим искомое равенство: \((x_1 + x_2)(x_2 + x_3) = -1\). Это условие связывает координаты точек, лежащих на параболе, при котором угол \(\angle ABC\) является прямым. Таким образом, геометрическое условие перпендикулярности угла на параболе сводится к простому алгебраическому уравнению, отражающему связь между абсциссами трёх точек.
