ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 17.13 изображён равносторонний треугольник \(ABC\), медианы \(AM\) и \(BK\) которого пересекаются в точке \(F\). Найдите угол между векторами: 1) \(BA\) и \(BC\); 2) \(BA\) и \(AC\); 3) \(BC\) и \(AM\); 4) \(AB\) и \(AM\); 5) \(AB\) и \(BK\); 6) \(AM\) и \(BK\); 7) \(CF\) и \(AB\).

1) угол между \(BA\) и \(BC\) равен \(60^\circ\), так как треугольник равносторонний;
2) угол между \(BA\) и \(AC\) равен \(120^\circ\), так как вектор \(BA\) направлен противоположно \(AB\);
3) угол между \(BC\) и \(AM\) равен \(90^\circ\), медиана перпендикулярна стороне;
4) угол между \(AB\) и \(AM\) равен \(30^\circ\), медиана делит угол пополам;
5) угол между \(AB\) и \(BK\) равен \(30^\circ\), медиана делит угол пополам;
6) угол между \(AM\) и \(BK\) равен \(120^\circ\), медианы пересекаются под этим углом;
7) угол между \(CF\) и \(AB\) равен \(90^\circ\), так как \(F\) — центр тяжести.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны \(60^\circ\). Рассмотрим угол между векторами \(BA\) и \(BC\). Вершина \(B\) образует угол \(60^\circ\), поэтому угол между векторами, исходящими из точки \(B\) к точкам \(A\) и \(C\), равен \(60^\circ\). Это связано с тем, что векторы направлены вдоль сторон треугольника, а угол между ними совпадает с внутренним углом треугольника.

Угол между векторами \(BA\) и \(AC\) сложнее, так как вектор \(BA\) направлен от \(B\) к \(A\), а \(AC\) — от \(A\) к \(C\). Вектор \(BA\) противоположен вектору \(AB\), который направлен от \(A\) к \(B\). Поскольку угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\), угол между векторами \(AB\) и \(AC\) равен \(60^\circ\), а угол между \(BA\) и \(AC\) — это сумма \(60^\circ\) и \(60^\circ\), то есть \(120^\circ\).

Медиана \(AM\) в равностороннем треугольнике является одновременно высотой и биссектрисой. Это значит, что она перпендикулярна стороне \(BC\), и угол между векторами \(BC\) и \(AM\) равен \(90^\circ\). Аналогично, медиана \(AM\) делит угол при вершине \(A\) пополам, поэтому угол между векторами \(AB\) и \(AM\) равен половине угла \(60^\circ\), то есть \(30^\circ\). То же самое справедливо для медианы \(BK\) и стороны \(AB\) — угол между \(AB\) и \(BK\) равен \(30^\circ\).

Пересечение медиан происходит в точке \(F\), которая делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Угол между медианами \(AM\) и \(BK\) равен \(120^\circ\), что связано с симметрией равностороннего треугольника. Наконец, вектор \(CF\), направленный от вершины \(C\) к точке пересечения медиан \(F\), образует угол \(90^\circ\) с вектором \(AB\), так как линия, проходящая через \(F\), связана с медианами и высотами треугольника.