ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки M и N являются серединами соответственно сторон BC и CD ромба ABCD. Докажите, что если \(AM \perp BN\), то четырёхугольник ABCD квадрат.
Пусть \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(D = (a \cos \theta, a \sin \theta)\), тогда \(C = (a + a \cos \theta, a \sin \theta)\). Точки \(M\) и \(N\) середины \(BC\) и \(CD\) соответственно: \(M = \left(a + \frac{a \cos \theta}{2}, \frac{a \sin \theta}{2}\right)\), \(N = \left(\frac{a + 2a \cos \theta}{2}, a \sin \theta\right)\). Векторы \(AM = M — A\) и \(BN = N — B\). Условие перпендикулярности \(AM \perp BN\) даёт уравнение \( (1 + \frac{\cos \theta}{2}) \frac{2 \cos \theta — 1}{2} + \frac{\sin^2 \theta}{2} = 0 \), которое сводится к \( \frac{3 \cos \theta}{2} = 0 \), откуда \(\cos \theta = 0\). Значит угол между сторонами ромба равен \(90^\circ\), следовательно, \(ABCD\) — квадрат.
Пусть ромб \(ABCD\) расположен в декартовой системе координат так, что точка \(A\) находится в начале координат, то есть \(A = (0,0)\). Пусть сторона \(AB\) лежит на оси \(OX\), тогда координаты точки \(B\) будут \(B = (a,0)\), где \(a\) — длина стороны ромба. Поскольку \(ABCD\) — ромб, все его стороны равны, и точка \(D\) может быть выражена через угол \(\theta\), который образует сторона \(AD\) с осью \(OX\), то есть \(D = (a \cos \theta, a \sin \theta)\). Тогда, используя свойства параллелограмма, точка \(C\) будет суммой векторов \(B + (D — A)\), что даёт \(C = (a + a \cos \theta, a \sin \theta)\).
Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\) соответственно. Координаты точки \(M\) находятся как среднее арифметическое координат точек \(B\) и \(C\), то есть \(M = \left(\frac{a + (a + a \cos \theta)}{2}, \frac{0 + a \sin \theta}{2}\right) = \left(a + \frac{a \cos \theta}{2}, \frac{a \sin \theta}{2}\right)\). Аналогично, координаты точки \(N\) — среднее арифметическое координат точек \(C\) и \(D\), то есть \(N = \left(\frac{(a + a \cos \theta) + a \cos \theta}{2}, \frac{a \sin \theta + a \sin \theta}{2}\right) = \left(\frac{a + 2a \cos \theta}{2}, a \sin \theta\right)\).
Векторы \(AM\) и \(BN\) можно записать как \(AM = M — A = \left(a + \frac{a \cos \theta}{2}, \frac{a \sin \theta}{2}\right)\) и \(BN = N — B = \left(\frac{a + 2a \cos \theta}{2} — a, a \sin \theta — 0\right) = \left(\frac{a(2 \cos \theta — 1)}{2}, a \sin \theta\right)\). Условие перпендикулярности этих векторов — их скалярное произведение равно нулю: \(AM \cdot BN = 0\). Подставляя координаты, получаем уравнение \( \left(a + \frac{a \cos \theta}{2}\right) \cdot \frac{a(2 \cos \theta — 1)}{2} + \frac{a \sin \theta}{2} \cdot a \sin \theta = 0 \). Вынеся общий множитель \(a^2\) и упростив, получаем уравнение \( \left(1 + \frac{\cos \theta}{2}\right) \frac{2 \cos \theta — 1}{2} + \frac{\sin^2 \theta}{2} = 0 \).
Раскрывая скобки и используя тригонометрическое тождество \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), уравнение сводится к виду \(2 \cos \theta — 1 + \cos^2 \theta — \frac{\cos \theta}{2} + \sin^2 \theta = 0\), что после подстановки тождества становится \(2 \cos \theta — 1 + 1 — \frac{\cos \theta}{2} = 0\), а далее \(2 \cos \theta — \frac{\cos \theta}{2} = 0\). Приводя к общему знаменателю, получаем \(\frac{3 \cos \theta}{2} = 0\), откуда следует \(\cos \theta = 0\). Это означает, что угол \(\theta\) равен \(90^\circ\), то есть угол между сторонами ромба прямой. Следовательно, ромб \(ABCD\) является квадратом.
