ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В треугольнике ABC известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 1\), \(BC = \sqrt{2}\). Докажите, что его медианы AK и CM перпендикулярны.
Расположим треугольник в координатах: \(C = (0,0)\), \(A = (1,0)\), \(B = (0, \sqrt{2})\). Тогда \(K = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(M = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Векторы медиан: \(\overrightarrow{AK} = \left(-1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\overrightarrow{CM} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Их скалярное произведение равно \( -1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\), значит медианы перпендикулярны.
Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом при вершине C, где \( AC = 1 \) и \( BC = \sqrt{2} \). Чтобы доказать перпендикулярность медиан \( AK \) и \( CM \), удобно поместить треугольник в декартову систему координат. Пусть вершина \( C \) находится в начале координат, то есть в точке \( (0,0) \). Поскольку угол при \( C \) прямой, можно расположить стороны \( AC \) и \( BC \) вдоль осей координат. Тогда \( A \) будет на оси \( x \) с координатами \( (1,0) \), так как длина \( AC = 1 \), а \( B \) — на оси \( y \) с координатами \( (0,\sqrt{2}) \), так как длина \( BC = \sqrt{2} \).
Далее определим координаты точек \( K \) и \( M \), которые являются серединами сторон \( BC \) и \( AB \) соответственно. Точка \( K \), как середина отрезка \( BC \), будет иметь координаты \( K = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+\sqrt{2}}{2} \right) = \left( 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \). Точка \( M \), как середина отрезка \( AB \), имеет координаты \( M = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{0+\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).
Теперь найдём векторы медиан \( AK \) и \( CM \). Вектор \( \overrightarrow{AK} \) равен разности координат точки \( K \) и точки \( A \), то есть \( \overrightarrow{AK} = \left( 0 — 1, \frac{\sqrt{2}}{2} — 0 \right) = \left( -1, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \). Вектор \( \overrightarrow{CM} \) равен разности координат точки \( M \) и точки \( C \), то есть \( \overrightarrow{CM} = \left( \frac{1}{2} — 0, \frac{\sqrt{2}}{2} — 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \). Чтобы проверить, перпендикулярны ли эти векторы, вычислим их скалярное произведение: \( \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{CM} = (-1) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \). Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы \( \overrightarrow{AK} \) и \( \overrightarrow{CM} \) перпендикулярны, следовательно, медианы \( AK \) и \( CM \) перпендикулярны.
