ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC (\(\angle C = 90^\circ\)) медианы CC1 и BB1 перпендикулярны. Найдите tg ∠ABC.

В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) координаты точек можно взять как \(C(0,0)\), \(A(a,0)\), \(B(0,b)\). Медианы \(CC_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны, значит скалярное произведение векторов \(CC_1\) и \(BB_1\) равно нулю:
\(\frac{a^2}{4} — \frac{b^2}{2} = 0\), откуда \(a^2 = 2b^2\).
Тангенс угла \(ABC\) равен \(\frac{a}{b}\), подставляя выражение для \(a\), получаем \(\tan \angle ABC = \sqrt{2}\).

Ответ: \(\tan \angle ABC = \sqrt{2}\).

Пусть треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) расположен в декартовой системе координат так, что \(C\) находится в начале координат \( (0,0) \), \(A\) лежит на оси \(x\) с координатами \( (a,0) \), а \(B\) на оси \(y\) с координатами \( (0,b) \). Такое расположение соответствует условию прямого угла при \(C\), так как отрезки \(AC\) и \(BC\) перпендикулярны. Медиана \(CC_1\) соединяет вершину \(C\) с серединой стороны \(AB\), а медиана \(BB_1\) соединяет вершину \(B\) с серединой стороны \(AC\).

Координаты середины отрезка \(AB\), точки \(C_1\), вычисляются как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\): \(C_1 \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\). Аналогично, середина отрезка \(AC\), точка \(B_1\), имеет координаты \(B_1 \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)\). Тогда векторы медиан будут: \(\vec{CC_1} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) и \(\vec{BB_1} = \left(\frac{a}{2} — 0, 0 — b\right) = \left(\frac{a}{2}, -b\right)\).

Условие перпендикулярности медиан означает, что их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{CC_1} \cdot \vec{BB_1} = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + \frac{b}{2} \cdot (-b) = \frac{a^2}{4} — \frac{b^2}{2} = 0\). Умножая на 4, получаем \(a^2 — 2b^2 = 0\), откуда следует, что \(a^2 = 2b^2\). Следовательно, \(a = b \sqrt{2}\).

Для нахождения тангенса угла \(ABC\) рассмотрим векторы, образующие этот угол: \(\vec{BA} = (a, -b)\) и \(\vec{BC} = (0, -b)\). Косинус угла \(ABC\) равен \(\frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{a \cdot 0 + (-b)(-b)}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot b} = \frac{b^2}{b \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\). Синус угла равен \(\frac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}\), где в двумерном пространстве векторное произведение равно \(a \cdot (-b) — (-b) \cdot 0 = -ab\), по модулю \(ab\), значит \(\sin \angle ABC = \frac{ab}{b \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).

Тангенс угла \(ABC\) равен \(\frac{\sin \angle ABC}{\cos \angle ABC} = \frac{\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}}{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}} = \frac{a}{b}\). Подставляя \(a = b \sqrt{2}\), получаем \(\tan \angle ABC = \sqrt{2}\).