ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC проведена медиана BD. Известно, что \(\angle DBC = 90^\circ\), \(BD = \frac{4}{3}AB\). Найдите угол ABD.

В треугольнике \(BCD\) угол \(DBC = 90^\circ\), медиана \(BD\) равна половине суммы \(BD\) и \(BC\), значит \(BD = \frac{1}{2}(BD + BC)\), откуда \(BD = BC\). Тогда угол \(ABD = 30^\circ\).

Ответ: \( \angle ABD = 30^\circ \)

В треугольнике \(ABC\) медиана \(BD\) делит сторону \(AC\) пополам, то есть точка \(D\) — середина отрезка \(AC\). По условию, угол \(DBC\) равен \(90^\circ\), что означает, что отрезки \(BD\) и \(BC\) перпендикулярны. Это важное свойство, позволяющее использовать геометрические соотношения для нахождения угла \(ABD\).

Из условия также известно, что длина медианы \(BD\) равна \(\frac{4}{3}\) длины отрезка \(AB\). Рассмотрим треугольник \(BCD\). Поскольку угол \(DBC\) прямой, треугольник \(BCD\) — прямоугольный с гипотенузой \(CD\). Медиана \(BD\), проведённая к стороне \(AC\), делит её пополам, а длина \(BD\) связана с длинами сторон треугольника. Из условия \(BD = \frac{1}{2}(BD + BC)\) следует, что \(BD = BC\), то есть катеты \(BD\) и \(BC\) равны. Значит, треугольник \(BCD\) — равнобедренный прямоугольный, и углы при вершинах \(C\) и \(D\) равны по \(45^\circ\).

Теперь рассмотрим угол \(ABD\). Он находится в треугольнике \(ABD\), где \(BD\) — медиана и высота к основанию \(AC\). Из равенства и соотношения длин следует, что угол \(ABD\) равен половине угла при вершине \(B\) в треугольнике \(BCD\), то есть \(30^\circ\). Таким образом, угол \(ABD\) равен \(30^\circ\).