ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки K и M середины соответственно сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Найдите AD, если \(AK = 6\), \(AM = 3\), \(\angle KAM = 60^\circ\).

Точки \(K\) и \(M\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\), значит \(\vec{AK} = \vec{b} + \frac{\vec{d}}{2}\), \(\vec{AM} = \frac{\vec{b}}{2} + \vec{d}\), где \(\vec{b} = \vec{AB}\), \(\vec{d} = \vec{AD}\). Из условия: \( |\vec{AK}| = 6 \), \( |\vec{AM}| = 3 \), угол между ними \(60^\circ\).

Система уравнений:

\(b^2 + \frac{d^2}{4} + b d \cos \theta = 36\)

\(\frac{b^2}{4} + d^2 + b d \cos \theta = 9\)

\(\frac{b^2}{2} + \frac{5}{4} b d \cos \theta + \frac{d^2}{2} = 9\)

Решая систему, получаем \(d = 4\).

Ответ: \(AD = 4\).

Пусть в параллелограмме \(ABCD\) векторы \(\vec{AB} = \vec{b}\) и \(\vec{AD} = \vec{d}\). Тогда точка \(C\) имеет координаты \(A + \vec{b} + \vec{d}\). Поскольку \(K\) и \(M\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\), их координаты выражаются как \(K = A + \vec{b} + \frac{\vec{d}}{2}\) и \(M = A + \frac{\vec{b}}{2} + \vec{d}\). Следовательно, векторы \( \vec{AK} = \vec{b} + \frac{\vec{d}}{2} \) и \( \vec{AM} = \frac{\vec{b}}{2} + \vec{d} \).

Из условия задачи известно, что длины векторов равны \( |\vec{AK}| = 6 \) и \( |\vec{AM}| = 3 \), а угол между ними равен \(60^\circ\). Это позволяет записать три уравнения: два — для длин векторов, и одно — для их скалярного произведения. Обозначим \(b = |\vec{b}|\), \(d = |\vec{d}|\), а угол между \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\) за \(\theta\). Тогда по формуле длины вектора и скалярного произведения имеем:

\(b^2 + \frac{d^2}{4} + b d \cos \theta = 36\),

\(\frac{b^2}{4} + d^2 + b d \cos \theta = 9\),

\(\left(\vec{b} + \frac{\vec{d}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\vec{b}}{2} + \vec{d}\right) = 6 \times 3 \times \cos 60^\circ = 9\).

Раскрыв скалярное произведение, получаем:

\(\frac{b^2}{2} + \frac{5}{4} b d \cos \theta + \frac{d^2}{2} = 9\).

Обозначим \(x = b^2\), \(y = d^2\), \(z = b d \cos \theta\). Тогда система принимает вид:

\(x + \frac{y}{4} + z = 36\),

\(\frac{x}{4} + y + z = 9\),

\(\frac{x}{2} + \frac{5}{4} z + \frac{y}{2} = 9\).

Из второго уравнения умножим на 4 и вычтем первое:

\(x + 4 y + 4 z = 36\),

\(- \left(x + \frac{y}{4} + z = 36\right)\),

\(\frac{15}{4} y + 3 z = 0\), или \(5 y + 4 z = 0\), откуда \(z = -\frac{5}{4} y\).

Подставляя в первое уравнение, получаем \(x — y = 36\). Подставляя в третье уравнение и учитывая \(x = y + 36\), решаем и находим \(y = 16\), откуда \(d = \sqrt{16} = 4\).

Таким образом, длина стороны \(AD\) равна 4.