ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что \(\angle A = 65^\circ\), \(\angle D = 85^\circ\), \(AB = \sqrt{3}\), \(CD = 3\). Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC.

Выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) с углами \(65^\circ\) и \(85^\circ\) при вершинах \(A\) и \(D\), и сторонами \(AB = \sqrt{3}\), \(CD = 3\). Длина отрезка, соединяющего середины сторон \(AD\) и \(BC\), равна половине длины суммы векторов \(AB\) и \(DC\):

\(MN = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos 30^\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3 + 9 + 9} = \frac{1}{2} \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}\)

Четырёхугольник \(ABCD\) выпуклый, с углами при вершинах \(A\) и \(D\), равными \(65^\circ\) и \(85^\circ\) соответственно. Даны длины сторон \(AB = \sqrt{3}\) и \(CD = 3\). Нужно найти длину отрезка \(MN\), где \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AD\) и \(BC\).

Для решения используем векторный подход. Отрезок \(MN\), соединяющий середины сторон \(AD\) и \(BC\), равен половине суммы векторов \(AB\) и \(DC\). Это следует из свойства трапеции и средней линии в четырёхугольнике. Формально: \(MN = \frac{1}{2} | \vec{AB} + \vec{DC} |\).

Далее вычислим длину вектора \(\vec{AB} + \vec{DC}\). Известно, что длина суммы двух векторов равна \(\sqrt{|AB|^2 + |DC|^2 + 2 |AB| |DC| \cos \theta}\), где \(\theta\) — угол между ними. Угол между векторами равен \(180^\circ — (65^\circ + 85^\circ) = 30^\circ\). Подставим значения: \(|AB| = \sqrt{3}\), \(|DC| = 3\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Получаем длину суммы векторов:

\( \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3 + 9 + 6 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21} \).

Наконец, длина отрезка \(MN\) равна половине этой величины:

\( MN = \frac{1}{2} \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2} \).