ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M и N середины диагоналей AC и BD соответственно. Найдите угол между прямыми AB и CD, если \(AB = 2\), \(CD = 4\), \(MN = \sqrt{3}\).

Векторы \( \vec{MN} = \frac{\vec{AB} + \vec{CD}}{2} \), значит \( |\vec{MN}| = \frac{|\vec{AB} + \vec{CD}|}{2} = \sqrt{3} \). Тогда \( |\vec{AB} + \vec{CD}| = 2\sqrt{3} \).

Из формулы суммы векторов: \( |\vec{AB} + \vec{CD}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{CD}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{CD}|\cos \theta \).

Подставляем значения: \( (2\sqrt{3})^2 = 2^2 + 4^2 + 2 \cdot 2 \cdot 4 \cos \theta \), то есть \( 12 = 4 + 16 + 16 \cos \theta \).

Отсюда \( 16 \cos \theta = 12 — 20 = -8 \), значит \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \).

Угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) равен \( 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ \).

Точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\), значит координаты этих точек можно выразить через координаты вершин четырёхугольника как \( M = \frac{A + C}{2} \) и \( N = \frac{B + D}{2} \). Вектор \( \vec{MN} \) тогда равен разности \( N — M \), что даёт \( \vec{MN} = \frac{B + D}{2} — \frac{A + C}{2} = \frac{(B — A) + (D — C)}{2} \). Если ввести обозначения \( \vec{AB} = \vec{b} \) и \( \vec{CD} = \vec{d} \), то вектор \( \vec{MN} \) можно переписать как \( \vec{MN} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} \).

Длина вектора \( \vec{MN} \) равна \( \sqrt{3} \), а длины векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{d} \) равны 2 и 4 соответственно. Из этого следует, что длина суммы векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{d} \) равна \( |\vec{b} + \vec{d}| = 2 |\vec{MN}| = 2 \sqrt{3} \). Используя формулу для квадрата длины суммы двух векторов, получаем \( |\vec{b} + \vec{d}|^{2} = |\vec{b}|^{2} + |\vec{d}|^{2} + 2 |\vec{b}| |\vec{d}| \cos \theta \), где \( \theta \) — угол между векторами \( \vec{b} \) и \( \vec{d} \).

Подставляя известные значения, получаем уравнение \( (2 \sqrt{3})^{2} = 2^{2} + 4^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 4 \cos \theta \), что эквивалентно \( 12 = 4 + 16 + 16 \cos \theta \). Отсюда следует, что \( 16 \cos \theta = 12 — 20 = -8 \), и, соответственно, \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \). Угол между векторами \( \vec{b} \) и \( \vec{d} \) равен \( 120^{\circ} \), а угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) — это дополнительный к \(120^{\circ}\) угол, то есть \( 180^{\circ} — 120^{\circ} = 60^{\circ} \).