ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.48 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC найдите такую точку K, чтобы отрезок CK и медиана AM были перпендикулярны.

Точка \(K\) лежит на гипотенузе \(AB\) и делит её в отношении \(AK : KB = 2 : 1\). Тогда \(CK\) перпендикулярен медиане \(AM\).

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \). Пусть катеты равны \( a \), тогда \( A = (a,0) \), \( B = (0,a) \), \( C = (0,0) \) в декартовой системе координат. Медиана \( AM \) проведена к середине \( BC \), где \( M = \left(0, \frac{a}{2}\right) \). Точка \( K \) лежит на гипотенузе \( AB \), уравнение которой \( y = -x + a \).

Координаты точки \( K \) можно записать как \( K = (t, -t + a) \), где \( t \) — параметр от 0 до \( a \). Векторы \( \overrightarrow{CK} = (t, -t + a) \) и \( \overrightarrow{AM} = (-a, \frac{a}{2}) \). Условие перпендикулярности этих векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю: \( \overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{AM} = t \cdot (-a) + (-t + a) \cdot \frac{a}{2} = 0 \).

Раскроем скалярное произведение: \( -a t + \frac{a}{2} (-t + a) = 0 \), что даёт уравнение \( -a t — \frac{a}{2} t + \frac{a^2}{2} = 0 \). Сложив похожие слагаемые, получаем \( -\frac{3a}{2} t + \frac{a^2}{2} = 0 \). Умножая на 2, имеем \( -3 a t + a^2 = 0 \), откуда \( a^2 = 3 a t \) и при \( a \neq 0 \) следует \( t = \frac{a}{3} \).

Таким образом, точка \( K \) имеет координаты \( \left(\frac{a}{3}, \frac{2a}{3}\right) \). Длина гипотенузы \( AB = a \sqrt{2} \). Вычисляя длину отрезков \( AK \) и \( KB \), получаем \( AK = \frac{2 a \sqrt{2}}{3} \) и \( KB = \frac{a \sqrt{2}}{3} \). Отношение \( AK : KB = 2 : 1 \), что означает, что точка \( K \) делит гипотенузу в этом отношении. Именно при таком положении \( K \) отрезок \( CK \) перпендикулярен медиане \( AM \).