ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне AB равностороннего треугольника ABC отметили точку C1 так, что \(AC1 : C1B = 1 : 2\), а на стороне AC отметили точку B1 так, что \(CC1 \perp BB1\). Найдите отношение \(AB1 : B1C\).

Треугольник равносторонний со стороной \(a\). Точка \(C_1\) делит \(AB\) в отношении \(1:2\), значит \(C_1 = \left(\frac{a}{3}, 0\right)\). Точка \(B_1\) на \(AC\) с координатами \(B_1 = \left(t \frac{a}{2}, t \frac{\sqrt{3}}{2} a\right)\). По условию \(CC_1 \perp BB_1\), откуда \(t = \frac{1}{5}\). Тогда отношение \(AB_1 : B_1C = t : (1 — t) = \frac{1}{5} : \frac{4}{5} = \frac{1}{4}\).

Ответ: \(AB_1 : B_1C = \frac{1}{4}\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной длины \( a \). Точка \( C_1 \) делит сторону \( AB \) в отношении \( AC_1 : C_1B = 1 : 2 \), что означает, что \( AC_1 = \frac{a}{3} \) и \( C_1B = \frac{2a}{3} \). Установим координаты:

— \( A = (0, 0) \)
— \( B = (a, 0) \)
— \( C = \left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \)

Координаты точки \( C_1 \) будут \( C_1 = \left( \frac{a}{3}, 0 \right) \).

Теперь определим координаты точки \( B_1 \) на стороне \( AC \) с параметрическим выражением:

\( B_1 = \left( t \cdot \frac{a}{2}, t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \), где \( t \) изменяется от 0 до 1.

Вычислим векторы:

\( CC_1 = C_1 — C = \left( \frac{a}{3} — \frac{a}{2}, 0 — \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) = \left( -\frac{a}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \)

\( BB_1 = B_1 — B = \left( t \cdot \frac{a}{2} — a, t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a — 0 \right) = \left( a \left( \frac{t}{2} — 1 \right), t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \)

Теперь найдем скалярное произведение \( CC_1 \cdot BB_1 \):

\( CC_1 \cdot BB_1 = \left( -\frac{a}{6} \right) \left( a \left( \frac{t}{2} — 1 \right) \right) + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \left( t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \)

Упрощаем:

\( = -\frac{a^2}{6} \left( \frac{t}{2} — 1 \right) — \frac{3}{4} a^2 t \)

Приравниваем к нулю:

\( -\frac{a^2}{6} \left( \frac{t}{2} — 1 \right) — \frac{3}{4} a^2 t = 0 \)

Упрощаем уравнение:

\( -\frac{1}{6} \left( \frac{t}{2} — 1 \right) — \frac{3}{4} t = 0 \)

Умножим на 12 для избавления от дробей:

\( -2 \left( \frac{t}{2} — 1 \right) — 9t = 0 \)

Раскрываем скобки:

\( — t + 2 — 9t = 0 \)

Собираем подобные:

\( -10t + 2 = 0 \)

Находим \( t \):

\( t = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)

Теперь определим отношение отрезков \( AB_1 : B_1C \):

\( AB_1 : B_1C = t : (1 — t) = \frac{1}{5} : \frac{4}{5} = 1 : 4 \)

Ответ: \( AB_1 : B_1C = 1 : 4 \).