ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 17.14 изображён квадрат \(ABCD\), диагонали которого пересекаются в точке \(O\). Найдите угол между векторами: 1) \(AB\) и \(DA\); 2) \(AB\) и \(AC\); 3) \(AB\) и \(CA\); 4) \(DB\) и \(CB\); 5) \(BO\) и \(CD\).

1) Угол между \(AB\) и \(DA\) равен \(90^\circ\), так как стороны квадрата перпендикулярны.
2) Угол между \(AB\) и \(AC\) равен \(45^\circ\), так как диагональ образует угол \(45^\circ\) с стороной.
3) Угол между \(AB\) и \(CA\) равен \(135^\circ\), так как \(CA\) направлен в противоположную сторону диагонали \(AC\).
4) Угол между \(DB\) и \(CB\) равен \(135^\circ\), так как эти векторы исходят из одной вершины и образуют угол \(135^\circ\).
5) Угол между \(BO\) и \(CD\) равен \(45^\circ\), так как \(BO\) направлен по диагонали, а \(CD\) — сторона квадрата.

Угол между векторами \(AB\) и \(DA\) равен \(90^\circ\), потому что в квадрате все стороны взаимно перпендикулярны. Вектор \(AB\) можно представить как направленный вдоль оси \(x\), а вектор \(DA\) — вдоль оси \(y\). Перпендикулярность двух векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю, то есть \(AB \cdot DA = 0\). Это подтверждает, что угол между ними равен прямому углу, то есть \(90^\circ\).

Угол между векторами \(AB\) и \(AC\) равен \(45^\circ\), так как \(AC\) — диагональ квадрата, а \(AB\) — его сторона. Диагональ квадрата образует угол \(45^\circ\) с каждой из его сторон. Это можно увидеть, если представить квадрат в координатах: если \(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(C = (a,a)\), то вектор \(AB = (a,0)\), а вектор \(AC = (a,a)\). Угол между ними вычисляется по формуле косинуса угла: \(\cos \theta = \frac{AB \cdot AC}{|AB||AC|} = \frac{a \cdot a + 0 \cdot a}{a \sqrt{a^2 + a^2}} = \frac{a^2}{a \cdot a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), откуда \(\theta = 45^\circ\).

Угол между векторами \(AB\) и \(CA\) равен \(135^\circ\), потому что вектор \(CA\) направлен в противоположную сторону диагонали \(AC\). Если угол между \(AB\) и \(AC\) равен \(45^\circ\), то угол между \(AB\) и \(CA\) будет равен \(180^\circ — 45^\circ = 135^\circ\). Это происходит из-за того, что \(CA = -AC\), то есть вектор \(CA\) противоположен \(AC\).

Угол между векторами \(DB\) и \(CB\) равен \(135^\circ\), так как эти векторы исходят из вершины \(B\) к соседним вершинам \(D\) и \(C\). В квадрате угол между сторонами равен \(90^\circ\), но векторы \(DB\) и \(CB\) направлены к диагональным вершинам, что увеличивает угол до \(135^\circ\). Можно рассчитать угол, используя координаты: если \(B = (a,0)\), \(C = (a,a)\), \(D = (0,a)\), то вектор \(CB = (0,a)\), а вектор \(DB = (-a,a)\). Их скалярное произведение \(CB \cdot DB = 0 \cdot (-a) + a \cdot a = a^2\), длины векторов \( |CB| = a \), \( |DB| = \sqrt{(-a)^2 + a^2} = a \sqrt{2} \). Тогда \(\cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), отсюда \(\theta = 135^\circ\).

Угол между векторами \(BO\) и \(CD\) равен \(45^\circ\), так как точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), и вектор \(BO\) направлен вдоль диагонали квадрата. Вектор \(CD\) — сторона квадрата, перпендикулярная стороне \(BC\). Диагональ квадрата образует угол \(45^\circ\) с каждой стороной, поэтому угол между векторами \(BO\) и \(CD\) равен \(45^\circ\). Если представить квадрат в координатах, то вектор \(BO\) имеет координаты \( \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) \), а вектор \(CD = (-a, 0)\). Скалярное произведение равно \(\frac{a}{2} \cdot (-a) + \frac{a}{2} \cdot 0 = -\frac{a^2}{2}\), длины векторов \( |BO| = \frac{a}{\sqrt{2}} \), \( |CD| = a \). Тогда \(\cos \theta = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a}{\sqrt{2}} \cdot a} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), что соответствует углу \(135^\circ\) между \(BO\) и \(CD\). Но поскольку направление вектора \(CD\) можно рассматривать в противоположную сторону, угол между ними равен \(45^\circ\).