ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах AB и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN и BCKF. Докажите, что медиана BD треугольника ABC перпендикулярна прямой MF.

Пусть \(R\) — поворот на 90° против часовой стрелки. Тогда \( \vec{BM} = R(\vec{AB}) \), \( \vec{BF} = R(\vec{BC}) \). Векторы \( \vec{MF} = R(\vec{BC}) — R(\vec{AB}) = R(\vec{BC} — \vec{AB}) \), а медиана \( \vec{BD} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} — \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}}{2} \).

Проверяем ортогональность: \( \vec{BD} \cdot \vec{MF} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}) \cdot R(\vec{BC} — \vec{AB}) = \frac{1}{2} \det(\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B},\)
\( \vec{BC} — \vec{AB}) \).
Но \( \vec{BC} — \vec{AB} = \vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B} \), значит детерминант равен нулю и \( \vec{BD} \perp \vec{MF} \).

Рассмотрим треугольник \(ABC\) и построенные на сторонах \(AB\) и \(BC\) квадраты \(ABMN\) и \(BCKF\) соответственно, расположенные вне треугольника. Векторы сторон обозначим как \( \vec{AB} = \vec{B} — \vec{A} \) и \( \vec{BC} = \vec{C} — \vec{B} \). Поскольку квадраты построены на этих сторонах, векторы, направленные от \(B\) к вершинам квадратов вне треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам и равны по длине. Обозначим оператор поворота на 90° против часовой стрелки как \(R\). Тогда вектор \( \vec{BM} = R(\vec{AB}) \), а вектор \( \vec{BF} = R(\vec{BC}) \). Это означает, что \( \vec{M} = \vec{B} + R(\vec{AB}) \) и \( \vec{F} = \vec{B} + R(\vec{BC}) \).

Следующим шагом определим вектор \( \vec{MF} \), который равен \( \vec{F} — \vec{M} = (\vec{B} + R(\vec{BC})) — (\vec{B} + R(\vec{AB})) = R(\vec{BC}) — R(\vec{AB}) \). Поскольку поворот \(R\) линейный, можно вынести его за скобки: \( \vec{MF} = R(\vec{BC} — \vec{AB}) \). Таким образом, вектор \( \vec{MF} \) является результатом поворота на 90° вектора \( \vec{BC} — \vec{AB} \).

Определим медиану \(BD\). Точка \(D\) — середина стороны \(AC\), значит её координаты \( \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \). Тогда вектор медианы равен \( \vec{BD} = \vec{D} — \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} — \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}}{2} \). Для доказательства перпендикулярности медианы \(BD\) и прямой \(MF\) необходимо проверить, что скалярное произведение \( \vec{BD} \cdot \vec{MF} = 0 \).

Подставляем выражения:

\( \vec{BD} \cdot \vec{MF} = \frac{\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}}{2} \cdot R(\vec{BC} — \vec{AB}) \).

Известно, что скалярное произведение вектора с повёрнутым на 90° вектором равно ориентированному определителю: \( \vec{u} \cdot R(\vec{v}) = \det(\vec{u}, \vec{v}) \). Значит,

\( \vec{BD} \cdot \vec{MF} = \frac{1}{2} \det(\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}, \vec{BC} — \vec{AB}) \).

Рассмотрим вектор \( \vec{BC} — \vec{AB} = (\vec{C} — \vec{B}) — (\vec{B} — \vec{A}) = \vec{C} — 2\vec{B} + \vec{A} = \vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B} \). Следовательно,

\( \det(\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}, \vec{BC} — \vec{AB}) = \det(\vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}, \vec{A} + \vec{C} — 2\vec{B}) = 0 \),

поскольку определитель вектора с самим собой равен нулю. Таким образом,

\( \vec{BD} \cdot \vec{MF} = 0 \),

что и доказывает перпендикулярность медианы \(BD\) и прямой \(MF\).