ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\cos A + \cos B + \cos C < \frac{3}{2}\), где A, B и C углы треугольника ABC.

Для углов треугольника \(A, B, C\) верно равенство \(A + B + C = \pi\). Известно, что

\(\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\).

Максимум произведения синусов достигается при \(A = B = C = \frac{\pi}{3}\), тогда

\(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\), и сумма равна

\(1 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

При остальных значениях сумма строго меньше, значит

\(\cos A + \cos B + \cos C < \frac{3}{2}\).

Для треугольника с углами \(A\), \(B\), \(C\) известно, что сумма углов равна \(\pi\), то есть \(A + B + C = \pi\). Это фундаментальное свойство любого треугольника. Рассмотрим выражение \(\cos A + \cos B + \cos C\). Чтобы упростить анализ, воспользуемся известным тригонометрическим тождеством, которое связывает сумму косинусов углов треугольника с произведением синусов половин этих углов. Это тождество записывается как \( \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \). Оно позволяет перейти от суммы косинусов к произведению синусов, что удобнее для оценки максимума.

Так как все углы треугольника положительны и меньше \(\pi\), половины углов \( \frac{A}{2}, \frac{B}{2}, \frac{C}{2} \) лежат в интервале от 0 до \(\frac{\pi}{2}\), где функция синуса положительна и возрастает. Следовательно, произведение \( \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \) положительно и достигает максимума, когда все три множителя равны. По неравенству между средним арифметическим и геометрическим (неравенство AM-GM) максимальное значение произведения достигается при равенстве всех трех синусов, то есть при \( \frac{A}{2} = \frac{B}{2} = \frac{C}{2} \), что соответствует равным углам \( A = B = C = \frac{\pi}{3} \).

Подставляя \( A = B = C = \frac{\pi}{3} \) в выражение, получаем \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \). Тогда произведение синусов равно \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \). Умножая на 4, получаем \( 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \). Следовательно, сумма косинусов равна \( 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \). Это значение является максимальным, и оно достигается только в случае равностороннего треугольника. При любых других значениях углов сумма косинусов будет строго меньше \( \frac{3}{2} \), что доказывает неравенство \( \cos A + \cos B + \cos C < \frac{3}{2} \) для всех треугольников, кроме равностороннего.