ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), если: 1) \([a] = 2\), \([b] = 5\), \(\angle(a,b) = 60°\); 2) \([a] = 3\), \([b] = \sqrt{2}\), \(\angle(a, b) = 135°\); 3) \([a] = 4\), \([b] = 1\), \(\angle(a, b) = 0°\); 4) \([a] = \frac{1}{2}\), \([b] = 6\), \(\angle(a, b) = 180°\).

Для вычисления скалярного произведения используем формулу \(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\angle(a,b))\).

1) \(a \cdot b = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5\)
2) \(a \cdot b = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6\)
3) \(a \cdot b = 4 \cdot 1 \cdot \cos 0^\circ = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4\)
4) \(a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \cos 0^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3\)

Для вычисления скалярного произведения двух векторов \(a\) и \(b\) необходимо использовать формулу, связывающую длины векторов и угол между ними. Эта формула выглядит так: \(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\angle(a,b))\), где \(|a|\) и \(|b|\) — длины векторов \(a\) и \(b\) соответственно, а \(\angle(a,b)\) — угол между ними. Скалярное произведение — это число, которое характеризует, насколько два вектора направлены в одну сторону. Если угол между векторами острый, скалярное произведение положительно, если прямой — равно нулю, если тупой — отрицательно.

Рассмотрим первый пример. Длины векторов равны \(|a|=2\) и \(|b|=5\), угол между ними \(\angle(a,b)=60^\circ\). Подставляя эти значения в формулу, получаем: \(a \cdot b = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ\). Известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), поэтому вычисление принимает вид \(2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5\). Таким образом, скалярное произведение равно 5. Это значение показывает, что векторы направлены под углом 60 градусов, и их проекция друг на друга составляет 5 условных единиц.

Во втором примере длины векторов и угол между ними следующие: \(|a|=3\), \(|b|=2 \cdot \sqrt{2}\), \(\angle(a,b)=135^\circ\). Угол 135 градусов является тупым, поэтому ожидаем отрицательное скалярное произведение. Формула принимает вид: \(a \cdot b = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ\). Из тригонометрии известно, что \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим это значение: \(3 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Умножая, получаем \(3 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) = 3 \cdot 2 \cdot (-1) = -6\). Отрицательное значение указывает на то, что векторы направлены в основном в противоположные стороны.

В третьем случае длины векторов \(|a|=4\), \(|b|=1\), а угол между ними равен \(0^\circ\). Угол \(0^\circ\) означает, что векторы направлены в одну сторону, то есть они коллинеарны и совпадают по направлению. Подставляем значения в формулу: \(a \cdot b = 4 \cdot 1 \cdot \cos 0^\circ\). Известно, что \(\cos 0^\circ = 1\), значит вычисление упрощается до \(4 \cdot 1 \cdot 1 = 4\). Скалярное произведение равно 4 — максимальному значению для данных длин векторов, что подтверждает их полное совпадение по направлению.

В четвертом примере длины векторов равны \(|a| = \frac{1}{2}\), \(|b| = 6\), а угол между ними \(\angle(a,b) = 180^\circ\). Угол \(180^\circ\) означает, что векторы направлены в противоположные стороны. Подставим данные в формулу: \(a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \cos 180^\circ\). Известно, что \(\cos 180^\circ = -1\), следовательно, вычисление принимает вид \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (-1) = -3\). Отрицательное значение скалярного произведения говорит о том, что векторы направлены противоположно друг другу, и величина 3 показывает, насколько сильно они «противопоставлены».