ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), если:

1) \(a (2; 1)\), \(b (1; 3)\);

2) \(a (-5; 1)\), \(b (2; 7)\);

3) \(a (1; 4)\), \(b (8; 2)\).

1) \(a \cdot b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5\)
2) \(a \cdot b = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 7 = -3\)
3) \(a \cdot b = 1 \cdot 8 + (-4) \cdot 2 = 0\)

Скалярное произведение двух векторов \(a = (a_x, a_y)\) и \(b = (b_x, b_y)\) определяется как сумма произведений их соответствующих координат: \(a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y\). Это значение характеризует, насколько два вектора направлены в одну сторону. Если результат положительный, векторы имеют угол меньше 90°, если равен нулю — векторы перпендикулярны, а если отрицательный — угол между ними больше 90°. Рассчитаем скалярное произведение для каждой пары векторов.

Для первой пары \(a = (2, 1)\) и \(b = (1, 3)\) вычисляем \(a \cdot b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5\). Значение 5 показывает, что векторы направлены в схожую сторону и имеют положительный угол между собой. Это значит, что векторы не перпендикулярны и имеют некоторый наклон друг к другу, но не противоположны.

Во втором случае \(a = (-5, 1)\) и \(b = (2, 7)\), вычисляем \(a \cdot b = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 7 = -10 + 7 = -3\). Отрицательное значение говорит о том, что угол между векторами больше 90°, то есть они направлены почти в противоположные стороны. Это важно при анализе направления и взаимного расположения векторов.

В третьем случае \(a = (1, -4)\) и \(b = (8, 2)\), вычисляем \(a \cdot b = 1 \cdot 8 + (-4) \cdot 2 = 8 — 8 = 0\). Результат равен нулю, что свидетельствует о перпендикулярности векторов. Это значит, что угол между ними равен ровно 90°, и они не влияют друг на друга по направлению. Такой результат часто используется для проверки ортогональности векторов.