ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отметим на плоскости точку О. Зададим преобразование плоскости по такому правилу: каждой точке \(Х\) плоскости поставим в соответствие такую точку \(X_1\), что точка О является серединой отрезка \(XX_1\) (точке О поставим в соответствие саму точку О) (рис. 18.6). Постройте образы точек А и В при заданном преобразовании. Является ли это преобразование обратимым?

Образ точки \(X\) при преобразовании: \(X_1 = 2O — X\).
Образы точек \(A\) и \(B\) — точки \(A_1\) и \(B_1\), симметричные \(A\) и \(B\) относительно \(O\).
Преобразование обратимо, так как обратное выражение: \(X = 2O — X_1\).

Пусть \(O\) — фиксированная точка на плоскости, относительно которой происходит преобразование. Для любой точки \(X\) существует точка \(X_1\), такая что \(O\) является серединой отрезка \(XX_1\). Это означает, что координаты точки \(O\) равны среднему арифметическому координат точек \(X\) и \(X_1\). Если обозначить координаты точек как векторные величины, то можно записать уравнение: \(O = \frac{X + X_1}{2}\). Отсюда выражаем координаты точки \(X_1\): \(X_1 = 2O — X\). Таким образом, точка \(X_1\) получается как отражение точки \(X\) относительно точки \(O\).

Для построения образов точек \(A\) и \(B\) по заданному преобразованию необходимо найти точки \(A_1\) и \(B_1\), симметричные \(A\) и \(B\) относительно точки \(O\). Это значит, что точка \(O\) является серединой отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\). Если задать координаты точек \(A\) и \(B\), то образы вычисляются по формулам \(A_1 = 2O — A\) и \(B_1 = 2O — B\). Геометрически это соответствует тому, что для каждой точки берётся вектор от \(O\) к точке, и затем этот вектор продолжается в ту же сторону на такую же длину, но уже с другой стороны точки \(O\).

Преобразование является обратимым, поскольку для любой точки \(X_1\) существует единственная точка \(X\), для которой \(O\) — середина отрезка \(XX_1\). Обратное преобразование выражается той же формулой, только теперь \(X = 2O — X_1\). Это означает, что отражение относительно точки \(O\) является инволюцией, то есть преобразованием, обратным самому себе. Следовательно, зная образ точки, можно однозначно восстановить исходную точку, что подтверждает обратимость данного преобразования.