ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принадлежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование этой фигуры, при котором её образом является окружность.

Гомотетия с центром в центре прямоугольника и коэффициентом масштабирования \( k = \frac{R}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) преобразует фигуру, состоящую из сторон прямоугольника, в окружность радиуса \( R \).

Гомотетия представляет собой геометрическое преобразование, которое изменяет размеры фигуры относительно заданной точки, называемой центром гомотетии. В данном случае, мы можем рассмотреть прямоугольник, состоящий из его сторон, и применить гомотетическое преобразование с центром в центре этого прямоугольника. Пусть прямоугольник имеет ширину \( a \) и высоту \( b \). Центр прямоугольника будет находиться в точке \( \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \).

Для того чтобы преобразовать стороны прямоугольника в окружность, необходимо выбрать коэффициент масштабирования \( k \). Этот коэффициент определяет, насколько мы будем увеличивать или уменьшать размеры фигуры. Чтобы получить окружность радиуса \( R \), мы можем установить коэффициент масштабирования следующим образом: \( k = \frac{R}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Этот коэффициент позволяет преобразовать расстояние от центра прямоугольника до его углов в радиус окружности, обеспечивая равномерное распределение точек по окружности.

После применения гомотетии, каждая точка на сторонах прямоугольника будет перемещена к новому положению, которое находится на окружности радиуса \( R \). Все точки, которые изначально находились на сторонах прямоугольника, теперь будут находиться на окружности, сохраняя углы и пропорции. Таким образом, в результате данного преобразования фигура, состоящая из сторон прямоугольника, будет полностью отображена в окружность, что демонстрирует интересное свойство геометрических преобразований.