ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Проведём на плоскости прямую \(l\). Зададим преобразование плоскости по такому правилу: каждой точке \(Х\) плоскости поставим в соответствие такую точку \(X_1\), что прямая \(l\) является серединным перпендикуляром отрезка \(XX_1\) (каждой точке прямой \(l\) поставим в соответствие саму эту точку) (рис. 18.7). Постройте образы точек А и В при заданном преобразовании. Является ли это преобразование обратимым?
Образы точек \(A\) и \(B\) — это их отражения относительно прямой \(l\). Точки \(A_1\) и \(B_1\) находятся на перпендикулярах к \(l\) через \(A\) и \(B\) соответственно, на таком же расстоянии от \(l\), но с противоположной стороны. Преобразование обратимо, обратное преобразование — то же отражение.
Преобразование, заданное в условии, представляет собой отражение относительно прямой \( l \). Это значит, что каждой точке \( X \), не лежащей на \( l \), ставится в соответствие точка \( X_1 \), расположенная на перпендикуляре к \( l \), проходящем через \( X \), на таком же расстоянии от \( l \), но с противоположной стороны. Если точка \( X \) лежит на прямой \( l \), то она остаётся на месте, то есть \( X_1 = X \). Таким образом, прямая \( l \) является серединным перпендикуляром отрезка \( XX_1 \).
Для построения образов точек \( A \) и \( B \) необходимо провести перпендикуляры к прямой \( l \) через эти точки. Точки пересечения перпендикуляров с \( l \) обозначим как \( P_A \) и \( P_B \) соответственно. Образы \( A_1 \) и \( B_1 \) будут лежать на тех же перпендикулярах, но по другую сторону от \( l \), на расстоянии, равном расстоянию от исходных точек до \( l \). То есть расстояния \( P_A A \) и \( P_A A_1 \) равны, как и расстояния \( P_B B \) и \( P_B B_1 \).
Преобразование является обратимым, так как отражение относительно прямой — это изометрия, сохраняющая расстояния и углы, и при повторном применении возвращающая точку в исходное положение. Обратное преобразование совпадает с самим отражением. Следовательно, если применить данное преобразование дважды, то каждая точка вернётся в исходное положение. Таким образом, отражение относительно прямой \( l \) — это взаимно обратное преобразование.