ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задайте какое-нибудь преобразование плоскости, при котором её образом является: 1) прямая; 2) луч; 3) отрезок; 4) две точки.

1) Проекция на прямую: все точки плоскости проецируются на заданную прямую.

2) Обрезка: плоскость обрезается по прямой, проходящей через начало луча.

3) Сжатие: плоскость сжимается, оставляя только часть, соответствующую отрезку.

4) Отображение сжатия: все точки, кроме двух заданных, сжимаются в одну точку, остаются две точки.

1) Проекция на прямую: в этом преобразовании все точки плоскости проецируются на заданную прямую. Если прямая задана уравнением \( ax + by + c = 0 \), то для каждой точки \( (x_0, y_0) \) плоскости можно найти её проекцию на прямую. Проекция будет находиться на линии, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку \( (x_0, y_0) \). Это можно выразить через систему уравнений, где для нахождения координат проекции нужно решить уравнение, учитывающее направление нормали к прямой.

2) Обрезка: в этом случае плоскость обрезается по прямой, которая проходит через начало луча. Если луч задан начальной точкой \( (x_1, y_1) \) и направлением \( (d_x, d_y) \), то все точки, находящиеся на одной стороне от этой прямой, будут удалены. Обрезка может быть представлена как ограничение на координаты точек, где, например, \( (x, y) \) должно удовлетворять условию \( (x — x_1) \cdot d_y — (y — y_1) \cdot d_x \geq 0 \).

3) Сжатие: это преобразование можно рассмотреть как проекцию на заданный отрезок. Если отрезок задан концами \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \), то для любой точки \( (x_0, y_0) \) из плоскости мы можем найти её «сжатую» позицию на отрезке. Это можно сделать, используя параметрическое уравнение отрезка и определяя, насколько далеко точка \( (x_0, y_0) \) от концов отрезка. Если точка выходит за пределы отрезка, то её координаты будут заменены на координаты ближайшей к ней точки на отрезке.

4) Отображение сжатия: в этом случае все точки, кроме двух заданных, сжимаются в одну точку. Пусть две точки обозначены как \( P_1(x_1, y_1) \) и \( P_2(x_2, y_2) \). Для всех остальных точек \( (x_0, y_0) \) можно использовать функцию, которая будет определять, попадает ли точка в область, где она должна быть сжата. Если точка не совпадает с \( P_1 \) или \( P_2 \), то её координаты заменяются на координаты одной из этих двух точек, в зависимости от того, какая из них ближе.