ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Проведём на плоскости прямую \( l \). Зададим преобразование плоскости по такому правилу: каждой точке \( X \) плоскости поставим в соответствие такую точку \( X_1 \), что \( XX_1 \perp l \), \( X_1M = \frac{1}{2}XM \), где \( M = XX_1 \cap l \), и точки \( X \) и \( X_1 \) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \( l \) (каждой точке прямой \( l \) поставим в соответствие эту же точку) (рис. 18.19).

Докажите, что это преобразование является обратимым, и задайте преобразование, обратное данному

Преобразование является обратимым. Обратное преобразование задается формулой \( X = 2X_1 — M \), где \( M \) — проекция точки \( X_1 \) на прямую \( l \).

Преобразование, заданное в условии, можно проанализировать на обратимость, рассматривая его геометрические свойства. Для любой точки \( X \) на плоскости мы определяем соответствующую точку \( X_1 \) так, что отрезок \( XX_1 \) перпендикулярен прямой \( l \). Точка \( M \) является проекцией точки \( X \) на прямую \( l \), и по условию \( X_1M = \frac{1}{2}XM \). Это означает, что расстояние от \( X_1 \) до \( M \) в два раза меньше, чем расстояние от \( X \) до \( M \), что создает четкую зависимость между точками \( X \) и \( X_1 \).

Чтобы найти обратное преобразование, необходимо выразить \( X \) через \( X_1 \). Исходя из условия, мы знаем, что расстояние между \( X \) и \( M \) в два раза больше, чем расстояние между \( X_1 \) и \( M \). Это можно записать как \( XM = 2 \cdot X_1M \). Если мы обозначим \( X_1M \) как \( d \), то \( XM = 2d \). Таким образом, точка \( X \) будет находиться на расстоянии \( 2d \) от точки \( M \) в направлении, противоположном \( X_1 \).

Следовательно, используя векторное представление, можно выразить точку \( X \) как \( X = M + 2(X_1 — M) \). Это позволяет получить формулу для обратного преобразования: \( X = 2X_1 — M \). Таким образом, для нахождения точки \( X \) по известной точке \( X_1 \) необходимо сначала найти проекцию \( M \) точки \( X_1 \) на прямую \( l \), а затем воспользоваться полученной формулой. Это доказывает, что преобразование является обратимым, и мы можем с уверенностью утверждать, что обратное преобразование задано правильно.