ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Рассматривается фигура, состоящая из трёх точек \( A \), \( B \) и \( C \). Укажите образы точки \( A \) при всех возможных преобразованиях данной фигуры на себя.

Образы точки \( A \) при всех возможных преобразованиях фигуры на себя:

1. Трансляция: \( A’ = A + \vec{v} \)
2. Поворот вокруг \( B \): \( A’ = R_B(\theta)(A — B) + B \)
3. Отражение относительно прямой \( BC \): \( A’ = A + 2d \cdot n \), где \( d \) — расстояние от \( A \) до прямой, \( n \) — нормальный вектор к прямой.
4. Сжатие/растяжение относительно \( B \): \( A’ = B + k(A — B) \), где \( k \) — коэффициент сжатия/растяжения.

Композиция: \( A’ = f_n(f_{n-1}(…f_1(A))) \), где \( f_i \) — разные преобразования.

Образы точки \( A \) при всех возможных преобразованиях фигуры на себя:

1. Трансляция: если мы перемещаем фигуру на вектор \( \vec{v} \), то образ точки \( A \) будет определяться как \( A’ = A + \vec{v} \). Это означает, что каждая точка фигуры перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Например, если \( \vec{v} = (2, 3) \), то \( A’ \) будет находиться на два единицы вправо и три единицы вверх от точки \( A \).

2. Поворот: если мы поворачиваем фигуру вокруг точки \( B \) на угол \( \theta \), то образ точки \( A \) можно вычислить с помощью формулы \( A’ = R_B(\theta)(A — B) + B \). Здесь \( R_B(\theta) \) — это матрица поворота, которая зависит от угла \( \theta \). Например, для поворота на угол \( \theta \) против часовой стрелки матрица будет выглядеть как \( R_B(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \).

3. Отражение: если фигура отражается относительно прямой, проходящей через точки \( B \) и \( C \), то образ точки \( A \) будет вычисляться по формуле \( A’ = A + 2d \cdot n \), где \( d \) — это расстояние от точки \( A \) до прямой, а \( n \) — нормальный вектор к этой прямой. Это преобразование меняет положение точки \( A \) так, чтобы она оказалась на равном расстоянии от прямой, но с противоположной стороны.

4. Сжатие и растяжение: если мы сжимаем или растягиваем фигуру относительно точки \( B \) с коэффициентом \( k \), то образ точки \( A \) будет определяться как \( A’ = B + k(A — B) \). Если \( k < 1 \), то фигура сжимается, а если \( k > 1 \), то растягивается. Например, при \( k = 0.5 \) точка \( A \) будет находиться ближе к \( B \), а при \( k = 2 \) — дальше.

5. Композиция преобразований: если мы применяем несколько преобразований последовательно, то образ точки \( A \) будет определяться как \( A’ = f_n(f_{n-1}(…f_1(A))) \), где \( f_i \) — это различные преобразования, такие как трансляция, поворот, отражение и т.д. Например, если сначала мы поворачиваем, а затем выполняем трансляцию, то для получения конечного образа необходимо сначала применить поворот, а затем к полученной точке применить трансляцию.