ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Отметим на плоскости точку О. Зададим преобразование плоскости по такому правилу: каждой точке \(Х\) плоскости поставим в соответствие такую точку \(X_1\), что \(OX_1 = -\frac{1}{2}OX\) (точке О поставим в соответствие саму точку О) (рис. 18.8). Постройте образы точек А и В при заданном преобразовании плоскости. Является ли это преобразование обратимым?
Образы точек \(A\) и \(B\): \(A_1\) и \(B_1\) лежат на прямых \(OA\) и \(OB\) соответственно, при этом \(\overrightarrow{OA_1} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB_1} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OB}\). Преобразование обратимо, так как существует обратное преобразование \(\overrightarrow{OX} = -2 \overrightarrow{OX_1}\).
Преобразование задано правилом, согласно которому каждой точке \(X\) плоскости ставится в соответствие точка \(X_1\), для которой выполняется равенство векторов \(\overrightarrow{OX_1} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OX}\). Это значит, что образ точки \(X\) находится на той же прямой, что и исходная точка, проходящей через начало координат \(O\), но в противоположном направлении и на расстоянии в два раза меньшем, чем расстояние от \(O\) до \(X\). Таким образом, если взять какую-либо точку \(A\) с вектором \(\overrightarrow{OA}\), то её образ \(A_1\) будет находиться на прямой \(OA\), но с вектором \(\overrightarrow{OA_1} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OA}\). Аналогично для точки \(B\) её образ \(B_1\) определяется вектором \(\overrightarrow{OB_1} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OB}\).
Это преобразование можно интерпретировать как композицию двух операций: умножения координат точки на коэффициент \(-\frac{1}{2}\) и отражения относительно начала координат. Отражение меняет направление вектора на противоположное, а умножение на \(\frac{1}{2}\) уменьшает длину вектора в два раза. В результате образ каждой точки получается на линии, проходящей через \(O\), но с противоположным направлением и в два раза ближе к \(O\). Если представить это на координатной плоскости, то точка с координатами \((x, y)\) перейдёт в точку \(\left(-\frac{1}{2} x, -\frac{1}{2} y\right)\).
Обратимость данного преобразования гарантируется тем, что для любой точки \(X_1\) существует единственная исходная точка \(X\), удовлетворяющая уравнению \(\overrightarrow{OX_1} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OX}\). Чтобы найти исходную точку по образу, нужно умножить вектор \(\overrightarrow{OX_1}\) на \(-2\), то есть \(\overrightarrow{OX} = -2 \overrightarrow{OX_1}\). Это однозначное соответствие, следовательно, преобразование обратимо. Таким образом, все точки плоскости можно восстановить по их образам, и преобразование является биекцией.
