ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 18.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямая \(а\) касается полуокружности \(AB\) с центром в точке \(O\) (рис. 18.14). Задайте какое-нибудь преобразование полуокружности \(AB\), при котором прямая \(а\) является образом полуокружности \(AB\) с «выколотыми» точками \(A\) и \(B\). Выясните, является ли заданное преобразование обратимым.

Преобразование, при котором полуокружность \(AB\) переходит в прямую \(a\), задается формулами:
\(x = \frac{a}{2} + r\cos\theta\)
\(y = r\sin\theta\)
где \(a\) — длина отрезка, на который опирается прямая \(a\), \(r\) — радиус полуокружности \(AB\), и \(\theta\) — угловая координата точки на полуокружности. Чтобы исключить точки \(A\) и \(B\), необходимо ввести условие \(\theta \neq 0, \pi\). Данное преобразование является обратимым.

Преобразование, при котором полуокружность \(AB\) переходит в прямую \(a\), задается формулами: \(x = \frac{a}{2} + r\cos\theta\) и \(y = r\sin\theta\), где \(a\) — длина отрезка, на который опирается прямая \(a\), \(r\) — радиус полуокружности \(AB\), и \(\theta\) — угловая координата точки на полуокружности. Для исключения точек \(A\) и \(B\) необходимо ввести условие \(\theta \neq 0, \pi\). Данное преобразование является обратимым, так как мы можем выразить исходные координаты \(x\) и \(y\) через \(a\), \(r\) и \(\theta\): \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) и \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x — \frac{a}{2}}\right)\). Таким образом, исходная полуокружность \(AB\) может быть восстановлена по заданной прямой \(a\). Преобразование, заданное этими формулами, переводит каждую точку полуокружности \(AB\), за исключением точек \(A\) и \(B\), в соответствующую точку прямой \(a\). Обратное преобразование позволяет восстановить исходные координаты точек полуокружности по их координатам на прямой \(a\). Это свойство обратимости делает данное преобразование полезным в различных геометрических задачах, связанных с анализом взаимного расположения кривых и прямых.