ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 19.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В каком месте следует построить мост \(MI\) через реку, разделяющую два населённых пункта \(A\) и \(B\) (рис. 19.14), чтобы путь \(AMNB\) был кратчайшим (берега реки считаем параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам реки)?

Оптимальное место для строительства моста — посередине между населёнными пунктами, так как кратчайший путь \(AMNB\) достигается при \(x = \frac{d}{2}\), где \(d\) — расстояние между пунктами \(A\) и \(B\).

Оптимальное место для строительства моста — посередине между населёнными пунктами, так как кратчайший путь \(AMNB\) достигается при \(x = \frac{d}{2}\), где \(d\) — расстояние между пунктами \(A\) и \(B\). Чтобы доказать это, рассмотрим следующее:

Пусть расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) обозначено как \(d\). Расстояние от \(A\) до моста \(MI\) обозначим как \(x\), а от \(B\) до \(MI\) как \((d-x)\). Тогда общая длина пути \(AMNB\) будет равна сумме расстояний \(\sqrt{x^{2} + h^{2}} + \sqrt{(d-x)^{2} + h^{2}}\), где \(h\) — высота моста.

Чтобы найти минимальное значение этого выражения, продифференцируем его по \(x\) и приравняем производную к нулю:

\(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2} + h^{2}} + \sqrt{(d-x)^{2} + h^{2}}\right) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + h^{2}}} — \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^{2} + h^{2}}} = 0\)

Решая это уравнение, получаем \(x = \frac{d}{2}\). Таким образом, оптимальное место для строительства моста \(MI\) находится посередине между пунктами \(A\) и \(B\), что обеспечивает кратчайший путь \(AMNB\).