ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 19.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Внутри параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(M\) так, что \(\angle MAD = \angle MCD\). Докажите, что \(\angle MBC = \angle MDC\).

Если \(\angle MAD = \angle MCD\), то из свойств параллелограмма \(ABCD\) следует, что \(\angle MBC = \angle MDC\).

Если внутри параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(M\) так, что \(\angle MAD = \angle MCD\), то необходимо доказать, что \(\angle MBC = \angle MDC\).

Сначала отметим, что в параллелограмме противоположные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до \(180^\circ\). Рассмотрим треугольники \(AMD\) и \(CMD\). Угол \(\angle MAD\) равен углу \(\angle MCD\), что обозначим как \(\alpha\). В треугольнике \(AMD\) сумма углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle AMD + \alpha + \angle ADM = 180^\circ\). Аналогично, в треугольнике \(CMD\) имеем \(\angle CMD + \alpha + \angle DMC = 180^\circ\).

Теперь, сравнив два уравнения, можем выразить углы \(AMD\) и \(CMD\): \(\angle AMD + \angle ADM = 180^\circ — \alpha\) и \(\angle CMD + \angle DMC = 180^\circ — \alpha\). Это означает, что \(\angle AMD + \angle ADM = \angle CMD + \angle DMC\). Поскольку \(\angle ABC\) равен \(\angle DAB\) и \(\angle ADC\) равен \(\angle BCD\), мы можем заключить, что \(\angle MBC = \angle DMC\).

Таким образом, из равенства углов следует, что \(\angle MBC = \angle MDC\). Мы доказали, что при условии равенства углов \(\angle MAD\) и \(\angle MCD\) обязательно выполняется равенство \(\angle MBC\)= \(\angle MDC\).