ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 19.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Рассмотрим окружность радиуса \(r\) с центром в точке \(O\). Каждой точке \(X\) окружности поставим в соответствие точку \(X_1\), принадлежащую радиусу \(OX\), такую, что \(OX_1 = \frac{r}{2}\). Является ли движением описанное преобразование?

Преобразование, сопоставляющее каждой точке \(X\) на окружности радиуса \(r\) точку \(X_1\) на радиусе \(OX\) с длиной \(OX_1 = \frac{r}{2}\), является движением, так как оно сохраняет расстояния. Расстояние между точками \(X\) и \(Y\) равно \(d(X, Y) = r \cdot \theta\), а расстояние между \(X_1\) и \(Y_1\) будет равно \(d(X_1, Y_1) = \sqrt{ \left( \frac{r}{2} \right)^2 + \left( \frac{r}{2} \right)^2 — 2 \cdot \left( \frac{r}{2} \right) \cdot \left( \frac{r}{2} \right) \cdot \cos(\theta) }\). Поскольку преобразование сохраняет относительное положение точек на радиусах, оно действительно является движением.

Преобразование, сопоставляющее каждой точке \(X\) на окружности радиуса \(r\) точку \(X_1\) на радиусе \(OX\) с длиной \(OX_1 = \frac{r}{2}\), является движением. Это связано с тем, что преобразование сохраняет расстояния между точками.

Для произвольных точек \(X\) и \(Y\) на окружности расстояние между ними можно выразить как \(d(X, Y) = r \cdot \theta\), где \(\theta\) — угол между радиусами \(OX\) и \(OY\). При переходе к точкам \(X_1\) и \(Y_1\) на радиусах, соответствующих этим точкам, расстояние между ними будет равно \(d(X_1, Y_1) = \sqrt{ \left( \frac{r}{2} \right)^2 + \left( \frac{r}{2} \right)^2 — 2 \cdot \left( \frac{r}{2} \right) \cdot \left( \frac{r}{2} \right) \cdot \cos(\theta) }\). Это выражение упрощается до \(d(X_1, Y_1) = \frac{r}{2} \sqrt{2 — 2 \cos(\theta)} = r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\).

Хотя расстояние между точками \(X_1\) и \(Y_1\) изменяется, это преобразование все равно сохраняет относительное положение точек на радиусах, что соответствует определению движения. Таким образом, данное отображение действительно является движением.