ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 19.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан угол \(AOB\) (рис. 19.13). Каждой точке \(X\) стороны \(OA\) поставим в соответствие точку \(X_1\), которая принадлежит стороне \(OB\) и лежит на окружности радиуса \(OX\) с центром \(O\) (точке \(O\) поставим в соответствие саму точку \(O\)). Докажите, что описанное преобразование является движением.

Преобразование является движением, так как для каждой точки \(X\) на стороне \(OA\) соответствующая точка \(X_1\) на стороне \(OB\) сохраняет расстояние от центра \(O\). Расстояние между любыми двумя точками \(X\) и \(Y\) на стороне \(OA\) равно \(d(X, Y) = OX + OY\), и соответствующие точки \(X_1\) и \(Y_1\) на стороне \(OB\) также сохраняют это расстояние. Таким образом, преобразование сохраняет расстояния, что доказывает его движение.

Преобразование, описанное в задаче, действительно является движением, и это можно объяснить более подробно, рассматривая его свойства и соответствия. Начнем с того, что у нас есть угол \(AOB\), где \(O\) является вершиной угла. Для каждой точки \(X\) на стороне \(OA\) мы определяем точку \(X_1\) на стороне \(OB\), которая лежит на окружности радиуса \(OX\) с центром в точке \(O\). Это означает, что расстояние от точки \(O\) до точки \(X\) определяет радиус окружности, на которой будет находиться соответствующая точка \(X_1\).

Теперь давайте рассмотрим, как это преобразование влияет на расстояния. Пусть у нас есть две произвольные точки \(X\) и \(Y\) на стороне \(OA\). Расстояние между этими двумя точками можно выразить как \(d(X, Y) = OX + OY\). Поскольку обе точки находятся на одной стороне угла, то расстояние \(d(X, Y)\) будет зависеть от их расстояний до точки \(O\). Когда мы применяем преобразование, точка \(X\) соответствует точке \(X_1\) на стороне \(OB\), а точка \(Y\) соответствует точке \(Y_1\). Поскольку \(X_1\) и \(Y_1\) находятся на окружности радиуса \(OX\) и \(OY\) соответственно, расстояние между ними также будет равно \(d(X_1, Y_1) = OX + OY\).

Важно отметить, что поскольку преобразование сохраняет расстояния от центра \(O\) до точек \(X\) и \(Y\), оно также сохраняет углы между радиусами, проведенными к этим точкам. Это свойство является ключевым для определения того, что преобразование является движением. Таким образом, для любых двух точек \(X\) и \(Y\) на стороне \(OA\) мы можем утверждать, что расстояние между соответствующими точками \(X_1\) и \(Y_1\) на стороне \(OB\) будет равно тому же значению, что и расстояние между \(X\) и \(Y\). В результате, данное преобразование сохраняет все необходимые свойства, которые характеризуют движение в геометрии.