ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 19.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан угол \(MON\). Каждой точке \(X\) стороны \(OM\) поставлена в соответствие такая точка \(X_1\) стороны \(ON\), что прямая \(XX_1\) перпендикулярна биссектрисе угла \(MON\) (точке \(O\) соответствует сама точка \(O\)). Докажите, что описанное преобразование является движением.

Доказательство: Пусть точки \(X\) и \(Y\) лежат на стороне \(OM\), а \(X_1\) и \(Y_1\) — соответствующие им точки на стороне \(ON\). Тогда \(OX = OY \Rightarrow OX_1 = OY_1\), так как треугольники \(OXX_1\) и \(OYY_1\) равны по двум сторонам и углу между ними (прямой угол). Следовательно, описанное преобразование сохраняет расстояния между точками и является движением.

Доказательство: Пусть точки \(X\) и \(Y\) лежат на стороне \(OM\), а \(X_1\) и \(Y_1\) — соответствующие им точки на стороне \(ON\). Тогда, согласно условию, прямые \(XX_1\) и \(YY_1\) перпендикулярны биссектрисе угла \(MON\). Это означает, что треугольники \(OXX_1\) и \(OYY_1\) являются прямоугольными с общим углом \(O\). Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников, имеем \(OX = OY \Rightarrow OX_1 = OY_1\). Таким образом, описанное преобразование сохраняет расстояния между точками, то есть является движением.

Более формально, пусть \(d(X, Y)\) обозначает расстояние между точками \(X\) и \(Y\). Тогда, в силу равенства треугольников \(OXX_1\) и \(OYY_1\), имеем:

\(d(X, Y) = d(OX, OY) = d(OX_1, OY_1) = d(X_1, Y_1)\)

Это означает, что расстояние между любыми двумя точками \(X\) и \(Y\) равно расстоянию между соответствующими им точками \(X_1\) и \(Y_1\) на стороне \(ON\). Следовательно, описанное преобразование является движением.

Таким образом, мы доказали, что описанное преобразование, при котором каждой точке \(X\) стороны \(OM\) ставится в соответствие точка \(X_1\) на стороне \(ON\) так, что прямая \(XX_1\) перпендикулярна биссектрисе угла \(MON\), является движением.