ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 19.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки \(A_1\) и \(B_1\) не принадлежат прямой \(AB\) и являются образами соответственно точек \(A\) и \(B\) при параллельном переносе прямой \(AB\). Докажите, что четырёхугольник \(AA_1B_1B\) параллелограмм.

Четырёхугольник \(AA_1B_1B\) является параллелограммом, так как при параллельном переносе точки \(A\) в \(A_1\) и \(B\) в \(B_1\) выполняется равенство векторов: \(\vec{A_1A} = \vec{BB_1}\) и \(\vec{AB} = \vec{A_1B_1}\). Это означает, что противоположные стороны равны и параллельны, что и доказывает, что \(AA_1B_1B\) — параллелограмм.

Для доказательства, что четырёхугольник \(AA_1B_1B\) является параллелограммом, рассмотрим следующее.

Пусть \(A\) и \(B\) — две точки, определяющие прямую \(AB\). При параллельном переносе этой прямой на некоторую величину получаем точки \(A_1\) и \(B_1\), которые являются образами \(A\) и \(B\).

Согласно свойству параллельного переноса, векторы, соединяющие точки, сохраняют свои длины и направления. Это означает, что векторы \( \vec{A_1A} \) и \( \vec{BB_1} \) равны:

\[
\vec{A_1A} = \vec{BB_1}
\]

Таким образом, стороны \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны и равны.

Теперь рассмотрим векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{A_1B_1} \). Поскольку \(A_1\) и \(B_1\) являются образами точек \(A\) и \(B\) при параллельном переносе, то:

\[
\vec{AB} = \vec{A_1B_1}
\]

Это означает, что стороны \(AB\) и \(A_1B_1\) также параллельны и равны.

Итак, мы имеем две пары противоположных сторон: \(AA_1 \parallel BB_1\) и \(AB \parallel A_1B_1\). Поскольку обе пары противоположных сторон равны и параллельны, четырёхугольник \(AA_1B_1B\) является параллелограммом.