ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите неизвестную сторону треугольника АВС, если: 1) АВ = 5 см, ВС = 8 см, \(В = 60°\); 2) АВ = 3 см, АС = \(\sqrt{2}\) см, \(\widehat{ДА} = 135°\).

Известно, что $AB = 5 \, \text{см}, BC = 8 \, \text{см}, \angle B = 60^\circ$. Используем теорему косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$$

Подставляем значения:

$$AC^2 = 5^2 + 8^2 — 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$$ $$AC^2 = 25 + 64 — 80 \cdot 0.5 = 89 — 40 = 49$$ $$AC = \sqrt{49} = 7 \, \text{см}$$

Для второго случая $AB = 3 \, \text{см}, AC = \frac{2}{\sqrt{2}} \, \text{см}, \angle A = 135^\circ$, применяем теорему косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A$$

Подставляем значения:

$$BC^2 = 3^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2 — 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \cos 135^\circ$$ $$BC^2 = 9 + \frac{4}{2} — 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ $$BC^2 = 9 + 2 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$BC^2 = 11 + 12 = 29$$ $$BC = \sqrt{29}$$

Для первого случая, где дано, что $AB = 5 \, \text{см}, BC = 8 \, \text{см}, \angle B = 60^\circ$, применим теорему косинусов для нахождения стороны $AC$. Теорема косинусов утверждает, что в любом треугольнике с углом $\gamma$, который лежит напротив стороны $c$, выполняется следующее соотношение:

$$c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos \gamma$$

Здесь $a = AB$, $b = BC$, $c = AC$, а угол $\gamma = \angle B = 60^\circ$. Подставим известные значения в формулу:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$$ $$AC^2 = 5^2 + 8^2 — 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$$

Рассчитаем каждое из слагаемых:

$$AC^2 = 25 + 64 — 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0.5$$ $$AC^2 = 25 + 64 — 40$$ $$AC^2 = 89 — 40 = 49$$

Теперь извлекаем квадратный корень из полученной величины, чтобы найти длину стороны $AC$:

$$AC = \sqrt{49} = 7 \, \text{см}$$

Таким образом, длина стороны $AC$ равна 7 см.

Теперь рассмотрим второй случай, где $AB = 3 \, \text{см}, AC = \frac{2}{\sqrt{2}} \, \text{см}, \angle A = 135^\circ$. В данном случае также применим теорему косинусов, но для нахождения стороны $BC$. Подставляем известные значения в формулу теоремы косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A$$ $$BC^2 = 3^2 + \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2 — 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \cos 135^\circ$$

Выполним вычисления по частям. Сначала найдём квадрат второй стороны $AC$:

$$AC^2 = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь подставим это значение в формулу:

$$BC^2 = 9 + 2 — 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \cos 135^\circ$$

Значение косинуса угла $135^\circ$ равно $-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим это в выражение:

$$BC^2 = 9 + 2 — 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

Теперь упростим выражение:

$$BC^2 = 9 + 2 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 9 + 2 + 12 = 29$$

Теперь извлекаем квадратный корень из полученного значения:

$$BC = \sqrt{29}$$

Таким образом, длина стороны $BC$ равна $\sqrt{29}$.