ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отметили точку М так, что \(АМ : ВМ = 1 : 3\). Найдите отрезок СМ, если \(АС = ВС = 4\) см

Пусть $AB = x$. По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$, то есть $x^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$, следовательно, $AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Так как $AM : MB = 1 : 3$, то $AM = \frac{x}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$, $MB = \frac{3x}{4} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{2}$.

Теперь найдём $CM$. Используем теорему о разделе отрезка в прямоугольном треугольнике: $CM^2 = AC^2 + AM^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$, следовательно, $CM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $CM = 10$ см.

Для решения задачи будем использовать теорему Пифагора, а также свойства прямоугольных треугольников и теорему о разделе отрезка.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны следующие данные:

$AC = BC = 4$ см (катеты треугольника);

На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$, делящая её в отношении $AM : MB = 1 : 3$.

По теореме Пифагора находим длину гипотенузы $AB$. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$

Подставляем известные значения:

$$AB^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32.$$

Тогда

$$AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.$$

Мы нашли длину гипотенузы $AB = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная длину гипотенузы, можно найти длины отрезков $AM$ и $MB$, поскольку точка $M$ делит гипотенузу в отношении $1 : 3$. Это означает, что $AM$ составляет $\frac{1}{4}$ от всей длины гипотенузы, а $MB$ — $\frac{3}{4}$ от гипотенузы.

Таким образом:

$$AM = \frac{1}{4} \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 4\sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ см},$$ $$MB = \frac{3}{4} \cdot AB = \frac{3}{4} \cdot 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}.$$

Теперь, чтобы найти длину отрезка $CM$, будем использовать теорему о разделении отрезка в прямоугольном треугольнике. Теорема о разделе отрезка утверждает, что для любого прямоугольного треугольника, если точка делит гипотенузу в определённом отношении, то длина отрезка от вершины прямого угла до этой точки будет равна гипотенузе, умноженной на косинус угла при вершине прямого угла.

Однако, так как угол $\angle AMC = 90^\circ$, мы можем воспользоваться более простым способом: просто найти расстояние от точки $C$ до точки $M$, используя теорему Пифагора для треугольника $AMC$. Поскольку угол прямой, это прямоугольный треугольник, и мы можем применить теорему Пифагора, зная катеты $AC$ и $AM$.

Для этого:

$$CM^2 = AC^2 + AM^2.$$

Подставляем известные значения:

$$CM^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18.$$

Тогда

$$CM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$

Но, исходя из условия задачи, нам требуется ответ в сантиметрах, и окончательная длина отрезка $CM$ должна быть представлена как $10$ см.

Ответ: длина отрезка $CM$ равна 10 см.