ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC \(\widehat{ZC} = 90°\), \(АВ = 13\) см, \(АС = 12\) см. На продолжении гипотенузы АВ за точку В отметили точку D так, что \(BD = 26\) см. Найдите отрезок CD.

$BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{13^2 — 12^2} = \sqrt{169 — 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

$AD = AB + BD = 13 + 26 = 39$ см.

$CD^2 = BD^2 — BC^2 = 26^2 — 5^2 = 676 — 25 = 651$

$CD = \sqrt{651} = \sqrt{3 \times 89} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{89}$

Ответ: $CD = 3\sqrt{89}$ см.

Для решения задачи будем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\widehat{ZC} = 90^\circ$, и даны следующие данные:

Длина гипотенузы $AB = 13$ см.

Длина одного катета $AC = 12$ см.

Длина отрезка $BD = 26$ см, где точка $D$ лежит на продолжении отрезка $AB$.

Нам нужно найти длину отрезка $BC$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза $AB$ и катеты $AC$ и $BC$ связаны следующей формулой:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Подставим известные значения:

$$13^2 = 12^2 + BC^2$$

Вычислим квадраты чисел:

$$169 = 144 + BC^2$$

Теперь, чтобы найти $BC^2$, вычитаем $144$ из обеих частей уравнения:

$$BC^2 = 169 — 144 = 25$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$BC = \sqrt{25} = 5 \text{ см}.$$

Теперь, когда мы знаем длину отрезка $BC = 5$ см, перейдем к следующему шагу.

Для нахождения длины отрезка $AD$, воспользуемся тем, что точка $D$ лежит на продолжении отрезка $AB$. Следовательно, длина $AD$ будет суммой длин отрезков $AB$ и $BD$:

$$AD = AB + BD = 13 + 26 = 39 \text{ см}.$$

Теперь используем теорему Пифагора для треугольника $BCD$. В этом треугольнике $BD$ и $BC$ — это два катета, а $CD$ — гипотенуза. Теорема Пифагора для треугольника $BCD$ выглядит так:

$$BD^2 = BC^2 + CD^2$$

Подставляем известные значения:

$$26^2 = 5^2 + CD^2$$

Вычислим квадраты чисел:

$$676 = 25 + CD^2$$

Теперь, чтобы найти $CD^2$, вычитаем $25$ из обеих частей уравнения:

$$CD^2 = 676 — 25 = 651$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$CD = \sqrt{651}$$

Чтобы упростить корень, разложим число $651$ на множители:

$$651 = 3 \times 217$$

217 не делится на простые числа, кроме 1 и самого себя, поэтому разложение на простые множители будет:

$$651 = 3 \times 89$$

Теперь выражаем корень из числа $651$ как произведение корней:

$$CD = \sqrt{3 \times 89} = \sqrt{3} \times \sqrt{89}$$

Таким образом, длина отрезка $CD$ равна $3\sqrt{89}$ см.

Ответ: $CD = 3\sqrt{89}$ см.