ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, \(ВС = a\), \(АС = b\), \(\widehat{АОВ} = 120°\). Найдите сторону АВ.

Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $BC = a$, $AC = b$, $\angle AOB = 120^\circ$. Найдите сторону $AB$.

Формула для вычисления расстояния от центра окружности до стороны:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos\left( \frac{\angle AOB}{2} \right)}$$

Подставляем значения:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos 60^\circ}$$

Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — ab}$$

Треугольник $ABC$ имеет точку $O$, которая является центром вписанной окружности, а также известно, что угол $\angle AOB = 120^\circ$. Стороны треугольника $BC = a$, $AC = b$. Задача состоит в том, чтобы найти сторону $AB$, используя теорему о центре вписанной окружности.

Рассмотрим теорему, которая связывает длины сторон треугольника с расстоянием от центра вписанной окружности до сторон. Для данной задачи это будет формула для вычисления расстояния от центра окружности до стороны $AB$:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos\left( \frac{\angle AOB}{2} \right)}$$

Шаг 1: Подставляем известное значение угла $\angle AOB = 120^\circ$. Известно, что угол между векторами $OA$ и $OB$, который составляет $120^\circ$, влияет на выражение для расстояния от центра окружности до стороны. Мы делим угол пополам, так как для вычислений используем формулу для $\cos\left( \frac{\angle AOB}{2} \right)$:

$$\frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Шаг 2: Теперь подставим значение угла в формулу:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos 60^\circ}$$

Шаг 3: Напоминаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, и подставляем это значение в формулу:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab \cdot \frac{1}{2}}$$

Шаг 4: Упростим выражение, так как $2ab \cdot \frac{1}{2} = ab$:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — ab}$$

Шаг 5: Теперь мы получаем окончательное выражение для длины отрезка $AB$:

$$d_{AB} = \sqrt{a^2 + b^2 — ab}$$