ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две стороны треугольника, угол между которыми равен \(60°\), относятся как \(5 : 8\), а третья сторона равна \(21\) см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Две стороны треугольника, угол между которыми равен 60°, относятся как 5 : 8, а третья сторона равна 21 см. Пусть одна сторона $AB = 5x$, другая $AC = 8x$, а третья сторона $BC = 21$. Применяем теорему косинусов:

$$21^2 = (5x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 5x \cdot 8x \cdot \frac{1}{2}.$$

Упрощаем:

$$441 = 25x^2 + 64x^2 — 40x^2,$$ $$441 = 49x^2,$$ $$x^2 = \frac{441}{49} = 9, \quad x = 3.$$

Считаем стороны:

$$AB = 5x = 15 \, \text{см}, \quad AC = 8x = 24 \, \text{см}.$$

Ответ: $15 \, \text{см}$ и $24 \, \text{см}$.

Две стороны треугольника, угол между которыми равен 60°, относятся как 5 : 8, а третья сторона равна 21 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника через $AB$, $AC$ и $BC$, где угол между сторонами $AB$ и $AC$ равен 60°. Пусть одна сторона равна $5x$, а другая $8x$. Третья сторона будет равна 21 см, как указано в задаче. Таким образом, имеем следующее:

$$AB = 5x, \quad AC = 8x, \quad BC = 21.$$

Для нахождения неизвестной стороны применим теорему косинусов. Теорема косинусов для треугольника гласит, что для любых треугольников с углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$, третья сторона $c$ вычисляется по формуле:

$$c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(\gamma).$$

В нашем случае:

$$a = 5x, \quad b = 8x, \quad \gamma = 60^\circ, \quad c = 21.$$

Подставляем данные в формулу:

$$21^2 = (5x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 5x \cdot 8x \cdot \cos(60^\circ).$$

Далее вычисляем значения:

$$441 = 25x^2 + 64x^2 — 80x^2 \cdot \cos(60^\circ).$$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$$441 = 25x^2 + 64x^2 — 40x^2.$$

Упрощаем уравнение:

$$441 = (25x^2 + 64x^2 — 40x^2).$$ $$441 = 49x^2.$$

Разделим обе части уравнения на 49:

$$x^2 = \frac{441}{49} = 9.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \sqrt{9} = 3.$$

Теперь, зная значение $x = 3$, находим стороны треугольника:

$$AB = 5x = 5 \cdot 3 = 15 \, \text{см},$$ $$AC = 8x = 8 \cdot 3 = 24 \, \text{см}.$$

Ответ: одна из сторон равна 15 см, а другая — 24 см.