ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма двух сторон треугольника, образующих угол \(120°\), равна \(8\) см, а длина третьей стороны составляет \(7\) см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

$$40 = x^2 + (b-x)^2 + 2x(b-x) \cdot \frac{1}{5}$$ $$x^2 + 64 — 16x + x^2 + 8x — x^2 — 40 = 0$$ $$x^2 — 8x + 15 = 0$$ $$D = 64 — 60 = 4 \quad \Rightarrow \quad D = 2^2$$ $$x_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = 3$$

3 см; 5 см

$$40 = x^2 + (b — x)^2 + 2x(b — x) \cdot \frac{1}{5}$$

Первым шагом раскроем выражение $(b — x)^2$:

$$(b — x)^2 = b^2 — 2bx + x^2$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$40 = x^2 + b^2 — 2bx + x^2 + 2x(b — x) \cdot \frac{1}{5}$$

Затем раскроем скобки в выражении $2x(b — x)$:

$$2x(b — x) = 2bx — 2x^2$$

Подставляем это обратно:

$$40 = x^2 + b^2 — 2bx + x^2 + \frac{2bx — 2x^2}{5}$$

Теперь умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

$$5 \cdot 40 = 5(x^2 + b^2 — 2bx + x^2) + 2bx — 2x^2$$ $$200 = 5x^2 + 5b^2 — 10bx + 5x^2 + 2bx — 2x^2$$

Упростим полученное выражение:

$$200 = 8x^2 — 8bx + 5b^2$$

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$8x^2 — 8bx + 5b^2 — 200 = 0$$

Выделим общие множители:

$$8(x^2 — bx) + 5b^2 — 200 = 0$$

Теперь определим значение $b$. Из предыдущего уравнения можно выразить $b$ как:

$$b = 8$$

Подставляем это значение в уравнение:

$$8(x^2 — 8x) + 5 \cdot 8^2 — 200 = 0$$

Выполним вычисления:

$$8(x^2 — 8x) + 320 — 200 = 0$$

Упростим:

$$8(x^2 — 8x) + 120 = 0$$

Теперь поделим обе части на 8:

$$x^2 — 8x + 15 = 0$$

Далее находим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их:

$$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Ответ: 3 см; 5 см