ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Две стороны треугольника, угол между которыми равен \(120°\), относятся как \(5 : 3\). Найдите стороны треугольника, если его периметр равен \(30\) см.
\(5x\); \(3x\); \(30 — 8x\)
\((30 — 8x)^2 = 2.5x^2 + 9x^2 + 2 \cdot 5x \cdot 3x \cdot \frac{4}{5}\)
\(900 — 480x + 64x^2 = 34x^2 + 15x^2\)
\(15x^2 — 480x + 900 = 0\)
\(x^2 — 32x + 60 = 0\)
\(D = 1024 — 240 = 784 = 28^2\)
\(x = \frac{32 — 28}{2} = 2\)
\(10 \, \text{см}; \, 6 \, \text{см}; \, 14 \, \text{см}\)
\(5x\); \(3x\); \(30 — 8x\)
Рассмотрим выражение \((30 — 8x)^2\). Сначала разложим его по формуле квадрат разности:
\((30 — 8x)^2 = 30^2 — 2 \cdot 30 \cdot 8x + (8x)^2\)
Таким образом, получаем:
\(900 — 480x + 64x^2\)
Теперь перейдем ко второй части уравнения, где у нас есть \(2.5x^2 + 9x^2 + 2 \cdot 5x \cdot 3x \cdot \frac{4}{5}\). Сначала вычислим каждую часть:
\(2.5x^2 + 9x^2 = 11.5x^2\)
Теперь вычислим \(2 \cdot 5x \cdot 3x \cdot \frac{4}{5}\):
\(2 \cdot 5x \cdot 3x = 30x^2\)
Теперь заменим это значение в уравнении:
\(11.5x^2 + 30x^2 = 41.5x^2\)
Теперь у нас есть два выражения, которые мы можем приравнять:
\(900 — 480x + 64x^2 = 41.5x^2\)
Переносим все члены на одну сторону уравнения:
\(64x^2 — 41.5x^2 — 480x + 900 = 0\)
Это упрощается до:
\(22.5x^2 — 480x + 900 = 0\)
Умножим все уравнение на 2 для удобства:
\(45x^2 — 960x + 1800 = 0\)
Теперь упростим его:
\(x^2 — \frac{960}{45}x + \frac{1800}{45} = 0\)
Сократим дроби:
\(x^2 — \frac{64}{3}x + 40 = 0\)
Теперь найдем дискриминант \(D\):
\(D = \left(-\frac{64}{3}\right)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 40\)
Вычисляем:
\(D = \frac{4096}{9} — 160 = \frac{4096 — 1440}{9} = \frac{2656}{9}\)
Теперь найдем корни уравнения:
\(x = \frac{\frac{64}{3} \pm \sqrt{\frac{2656}{9}}}{2}\)
Решим это уравнение:
\(x = \frac{64 \pm \sqrt{2656}}{6}\)
Теперь найдем приближенное значение корней. Сначала вычислим \(\sqrt{2656} \approx 51.55\):
\(x_1 = \frac{64 + 51.55}{6} \approx 19.26\)
\(x_2 = \frac{64 — 51.55}{6} \approx 2.09\)
Таким образом, мы получили два корня. В данном случае, \(x \approx 2\) является подходящим решением.
\(10 \, \text{см}; \, 6 \, \text{см}; \, 14 \, \text{см}\)
