ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен \(120°\).

Если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то можно записать:

\( a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos A \).

Пусть \( a^2 = b^2 + c^2 + bc \). Это можно переписать как:

\( a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \).

Следовательно, \( \cos A = -\frac{1}{2} \), что соответствует углу \( A = 120^\circ \). Таким образом, угол противолежащий стороне \( a \) равен \( 120^\circ \).

Рассмотрим треугольник \(ABC\) с сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) – сторона, противолежащая углу \(A\). Мы знаем, что квадрат стороны \(a\) равен неполному квадрату суммы двух других сторон, что можно выразить следующим образом:

\( a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos A \).

Это уравнение является формулой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом угла между ними. Теперь предположим, что это уравнение принимает вид:

\( a^2 = b^2 + c^2 + bc \).

Чтобы понять, как это связано с углом \(A\), мы можем сравнить оба выражения. Перепишем уравнение с использованием косинуса:

\( a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos A \).

Теперь приравняем два выражения:

\( b^2 + c^2 + bc = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos A \).

Упростим это уравнение, вычтя \(b^2 + c^2\) из обеих сторон:

\( bc = -2bc \cdot \cos A \).

Теперь разделим обе стороны на \(bc\) (предполагая, что \(b\) и \(c\) не равны нулю):

\( 1 = -2 \cdot \cos A \).

Теперь выразим \(\cos A\):

\( \cos A = -\frac{1}{2} \).

Теперь, чтобы найти угол \(A\), вспомним, что \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Это означает, что угол \(A\) равен \(120^\circ\). Таким образом, мы можем утверждать, что если квадрат стороны \(a\) равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол \(A\) равен \(120^\circ\).