ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату разности двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен \(60°\).

Предположим, что в треугольнике $ABC$ выполняется условие $a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$, противоположный стороне $a$.

Используя косинусную теорему, имеем:

$$a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha).$$

Если $a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha)$, то по косинусной теореме $\alpha$ — это угол между сторонами $b$ и $c$.

Для того чтобы угол $\alpha$ был равен $60^\circ$, должно выполняться условие $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$, так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha = 60^\circ$.

Предположим, что в треугольнике $ABC$ стороны $a$, $b$ и $c$ связаны условием:

$$a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha),$$

где $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$, противоположный стороне $a$.

Это уравнение является косинусной теоремой, которая используется для нахождения углов в произвольных треугольниках, когда известны все стороны. В данном случае оно определяет связь между длинами сторон и углом треугольника.

Из условия задачи следует, что выражение $a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha)$ имеет вид, идентичный косинусной теореме. Это значит, что угол $\alpha$ в данном треугольнике можно найти, используя косинус этой теоремы.

Мы знаем, что косинусная теорема выглядит следующим образом:

$$a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha),$$

где $a$, $b$ и $c$ — это стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$, противоположный стороне $a$.

Теперь, чтобы доказать, что угол $\alpha$ равен $60^\circ$, нам нужно доказать, что $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$, так как известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим уравнение:

$$a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha).$$

Если угол $\alpha = 60^\circ$, то из формулы косинуса $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение косинусной теоремы:

$$a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \frac{1}{2}.$$

Упростим правую часть:

$$a^2 = b^2 + c^2 — bc.$$

Таким образом, мы получили, что для угла $\alpha = 60^\circ$ выполняется следующее равенство:

$$a^2 = b^2 + c^2 — bc.$$

Это и есть требуемое условие, которое показывает, что угол $\alpha$ равен $60^\circ$.