ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали параллелограмма равны \(8\) см и \(14\) см, а одна из сторон на \(2\) см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

Для нахождения сторон параллелограмма с диагоналями \(8\) см и \(14\) см, где одна сторона на \(2\) см больше другой, обозначим стороны как \(a\) и \(b = a + 2\). Используем формулу: \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\). Подставляем значения: \(8^2 + 14^2 = 2(a^2 + (a + 2)^2)\). Получаем уравнение \(260 = 2(2a^2 + 4a + 4)\), упрощаем до \(130 = 2a^2 + 4a + 4\), затем \(2a^2 + 4a — 126 = 0\). Делим на \(2\): \(a^2 + 2a — 63 = 0\). Решаем с помощью формулы корней: \(a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}\). Находим \(a = 7\) см, затем \(b = 9\) см. Ответ: 7 см, 9 см.

Для решения задачи о нахождении сторон параллелограмма, где известны длины диагоналей и соотношение сторон, следуем следующим шагам.

Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \), где \( a \) — меньшая сторона, а \( b = a + 2 \) — большая сторона. Даны длины диагоналей: \( d_1 = 8 \) см и \( d_2 = 14 \) см.

Согласно свойству параллелограмма, сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон:

\( d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \)

Подставим известные значения:

\( 8^2 + 14^2 = 2(a^2 + (a + 2)^2) \)

Вычислим квадраты:

\( 64 + 196 = 2(a^2 + (a^2 + 4a + 4)) \)

Это упрощается до:

\( 260 = 2(2a^2 + 4a + 4) \)

Разделим обе стороны на 2:

\( 130 = 2a^2 + 4a + 4 \)

Переносим все в одну сторону:

\( 2a^2 + 4a + 4 — 130 = 0 \)

Упрощаем:

\( 2a^2 + 4a — 126 = 0 \)

Делим на 2:

\( a^2 + 2a — 63 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \)

Где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -63 \):

\( a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63)}}{2 \cdot 1} \)

Вычисляем дискриминант:

\( a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2} \)

\( a = \frac{-2 \pm \sqrt{256}}{2} \)

Находим корень:

\( a = \frac{-2 \pm 16}{2} \)

Теперь найдем два значения:

1. \( a = \frac{14}{2} = 7 \)
2. \( a = \frac{-18}{2} = -9 \) (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, \( a = 7 \) см. Теперь найдем \( b \):

\( b = a + 2 = 7 + 2 = 9 \) см.

Ответ: 7 см, 9 см.