ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Стороны параллелограмма равны \(11\) см и \(23\) см, а его диагонали относятся как \(2 : 3\). Найдите диагонали параллелограмма.
Обозначим диагонали как \(d_1\) и \(d_2\), где \(\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3}\), следовательно, \(d_1 = \frac{2}{3} d_2\). Стороны параллелограмма: \(a = 11\) см, \(b = 23\) см. Используем формулу: \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\). Вычисляем \(a^2 = 121\) и \(b^2 = 529\), тогда \(d_1^2 + d_2^2 = 1300\). Подставляем \(d_1\): \(\left(\frac{2}{3} d_2\right)^2 + d_2^2 = 1300\), упрощаем до \(\frac{13}{9} d_2^2 = 1300\). Умножаем на \(\frac{9}{13}\): \(d_2^2 = 900\), отсюда \(d_2 = 30\) см. Находим \(d_1 = \frac{2}{3} \times 30 = 20\) см. Ответ: \(d_1 = 20\) см, \(d_2 = 30\) см.
Для решения задачи о параллелограмме, у которого стороны равны \(11\) см и \(23\) см, а диагонали относятся как \(2:3\), следуем пошагово.
1. Обозначим длины диагоналей как \(d_1\) и \(d_2\). По условию, отношение диагоналей записывается как:
\(\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3}\)
Это означает, что можно выразить одну диагональ через другую:
\(d_1 = \frac{2}{3} d_2\)
2. Стороны параллелограмма равны \(a = 11\) см и \(b = 23\) см. Используем формулу для сумм квадратов диагоналей параллелограмма:
\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\)
3. Вычислим \(a^2\) и \(b^2\):
\(a^2 = 11^2 = 121\)
\(b^2 = 23^2 = 529\)
4. Подставим значения в формулу:
\(d_1^2 + d_2^2 = 2(121 + 529) = 2 \times 650 = 1300\)
5. Теперь подставим выражение для \(d_1\):
\(\left(\frac{2}{3} d_2\right)^2 + d_2^2 = 1300\)
6. Упростим уравнение:
\(\frac{4}{9} d_2^2 + d_2^2 = 1300\)
7. Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{4}{9} d_2^2 + \frac{9}{9} d_2^2 = 1300\)
Это упрощается до:
\(\frac{13}{9} d_2^2 = 1300\)
8. Умножим обе стороны на \(\frac{9}{13}\):
\(d_2^2 = 1300 \times \frac{9}{13} = 900\)
9. Найдем \(d_2\):
\(d_2 = \sqrt{900} = 30\) см
10. Теперь найдем \(d_1\):
\(d_1 = \frac{2}{3} d_2 = \frac{2}{3} \times 30 = 20\) см
Ответ: \(d_1 = 20\) см, \(d_2 = 30\) см.
