ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На стороне ВС треугольника АВС отметили точку D так, что \(CD = 14\) см. Найдите отрезок AD, если \(АВ = 37\) см, \(ВС = 44\) см и \(АС = 15\) см.
1. \( \cos E = \frac{1936 + 225 — 1369}{2 \cdot 44 \cdot 15} = \frac{3}{5} \)
2. \( AD^2 = 225 + 196 — 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5} = 169 \)
\( AD = 13 \, \text{см} \)
Рассмотрим треугольник \( \triangle EFG \), в котором известны длины сторон: \( EF = 44 \), \( EG = 15 \), \( FG = 37 \). Нам нужно найти косинус угла \( E \), который находится между сторонами \( EF \) и \( EG \).
Для нахождения \( \cos E \) воспользуемся теоремой косинусов:
\(
FG^2 = EF^2 + EG^2 — 2 \cdot EF \cdot EG \cdot \cos E
\)
Подставляем известные значения:
\(
37^2 = 44^2 + 15^2 — 2 \cdot 44 \cdot 15 \cdot \cos E
\)
Вычислим квадраты чисел:
\(
1369 = 1936 + 225 — 2 \cdot 44 \cdot 15 \cdot \cos E
\)
Упрощаем правую часть:
\(
1369 = 2161 — 1320 \cdot \cos E
\)
Переносим \( 1369 \) вправо:
\(
0 = 2161 — 1320 \cdot \cos E — 1369
\)
Упрощаем:
\(
0 = 792 — 1320 \cdot \cos E
\)
Отсюда:
\(
1320 \cdot \cos E = 792
\)
Делим обе части на \( 1320 \):
\(
\cos E = \frac{792}{1320}
\)
Сокращаем дробь (НОД равен 264):
\(
\cos E = \frac{3}{5}
\)
Теперь рассмотрим другой треугольник \( \triangle ADE \), где \( AD \) — неизвестная сторона, а нам известны стороны \( AE = 15 \), \( DE = 14 \), и угол \( E \) такой же, как в предыдущем треугольнике, то есть \( \cos E = \frac{3}{5} \).
Чтобы найти \( AD \), снова используем теорему косинусов:
\(
AD^2 = AE^2 + DE^2 — 2 \cdot AE \cdot DE \cdot \cos E
\)
Подставляем значения:
\(
AD^2 = 15^2 + 14^2 — 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}
\)
Вычисляем квадраты:
\(
AD^2 = 225 + 196 — 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}
\)
Упрощаем произведение:
\(
2 \cdot 15 \cdot 14 = 420
\)
Умножаем на \( \frac{3}{5} \):
\(
420 \cdot \frac{3}{5} = 252
\)
Теперь вычисляем:
\(
AD^2 = 225 + 196 — 252 = 169
\)
Извлекаем квадратный корень:
\(
AD = \sqrt{169} = 13
\)
Таким образом, длина стороны \( AD = 13 \) см.