ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне АВ треугольника АВС отметили точку К, а на продолжении стороны ВС за точку С — точку М. Найдите отрезок МК, если \(АВ = 15\) см, \(ВС = 7\) см, \(АС = 13\) см, \(АК = 8\) см, \(МС = 3\) см.

1. \(\cos \beta = \frac{225 + 49 — 169}{2 \cdot 15 \cdot 7} = \frac{1}{2}\)

2. \(KM^2 = 49 + 100 — 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 79\)

3. \(KM = \sqrt{79} \, \text{cm}\)

Для нахождения косинуса угла \( \beta \) в треугольнике \( ABC \) с известными длинами сторон \( AB = 15\, \text{см} \), \( BC = 7\, \text{см} \), \( AC = 13\, \text{см} \) воспользуемся теоремой косинусов.

Формула теоремы косинусов для треугольника с сторонами \( a \), \( b \), \( c \) и углом \( \gamma \) между сторонами \( a \) и \( b \) записывается как:

\( c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos \gamma \)

В нашем случае \( AC \) является стороной \( c \), \( AB \) — стороной \( a \), \( BC \) — стороной \( b \), а угол \( \beta \) находится между сторонами \( AB \) и \( BC \). Подставим известные значения в формулу:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \beta \)

Подставляем числовые значения:

\( 13^2 = 15^2 + 7^2 — 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \cos \beta \)

Вычислим квадраты чисел:

\( 169 = 225 + 49 — 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \cos \beta \)

Сложим числа справа:

\( 169 = 274 — 210 \cdot \cos \beta \)

Перепишем уравнение:

\( 210 \cdot \cos \beta = 274 — 169 \)

Выполним вычитание:

\( 210 \cdot \cos \beta = 105 \)

Теперь найдём значение \( \cos \beta \), разделив обе части уравнения на \( 210 \):

\( \cos \beta = \frac{105}{210} = \frac{1}{2} \)

Теперь перейдём к нахождению длины стороны \( KM \) в другом треугольнике, где известны стороны \( KL = 7\, \text{см} \), \( LM = 10\, \text{см} \), а угол между ними равен \( \beta \). Применим теорему косинусов:

\( KM^2 = KL^2 + LM^2 — 2 \cdot KL \cdot LM \cdot \cos \beta \)

Подставляем значения:

\( KM^2 = 7^2 + 10^2 — 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \)

Возводим числа в квадрат:

\( KM^2 = 49 + 100 — 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \)

Упрощаем выражение под вторым слагаемым:

\( 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 7 \cdot 10 = 70 \)

Получаем:

\( KM^2 = 49 + 100 — 70 \)

Выполняем арифметические действия:

\( KM^2 = 149 — 70 = 79 \)

Теперь находим длину стороны \( KM \), извлекая квадратный корень:

\( KM = \sqrt{79}\, \text{см} \)

Итак, окончательный результат:

1. \( \cos \beta = \frac{1}{2} \)
2. \( KM^2 = 79 \)
3. \( KM = \sqrt{79}\, \text{см} \)