ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC \(AB = BC\), \(\angle ABC = 120°\). На продолжении отрезка АВ за точку В отметили точку D так, что \(BD = 2AB\). Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

В треугольнике ABC с \( AB = BC = x \) и \( \angle ABC = 120^\circ \) устанавливаем координаты: \( B(0, 0) \), \( A\left(-\frac{x}{2}, \frac{x \sqrt{3}}{2}\right) \), \( C(x, 0) \), \( D(-2x, 0) \).

Длина стороны \( AC \):
\(
AC = \sqrt{\left(-\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x \sqrt{3}}{2}\right)^2} = x\sqrt{3}
\)

Длина стороны \( CD \):
\(
CD = 3x
\)

Длина стороны \( AD \):
\(
AD = \sqrt{\left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x \sqrt{3}}{2}\right)^2} = x\sqrt{3}
\)

Сравнивая \( AC \) и \( AD \), видим, что \( AC = AD = x\sqrt{3} \). Таким образом, треугольник ACD является равнобедренным.

В треугольнике ABC, где \( AB = BC \) и \( \angle ABC = 120^\circ \), мы обозначим длины сторон: пусть \( AB = BC = x \). На продолжении отрезка AB за точкой B отметим точку D так, что \( BD = 2AB = 2x \).

1. Установим координаты точек:
Положим \( B(0, 0) \), тогда:
— Точка A будет находиться на координатах \( A\left(-\frac{x}{2}, \frac{x \sqrt{3}}{2}\right) \), так как угол \( \angle ABC = 120^\circ \).
— Точка C будет находиться на координатах \( C(x, 0) \).
— Точка D будет находиться на координатах \( D(-2x, 0) \), так как она находится на продолжении отрезка AB.

2. Найдем длину стороны AC:
Используем формулу расстояния между двумя точками:
\(
AC = \sqrt{\left(-\frac{x}{2} — x\right)^2 + \left(\frac{x \sqrt{3}}{2} — 0\right)^2}
\)
\(
AC = \sqrt{\left(-\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x \sqrt{3}}{2}\right)^2}
\)
\(
AC = \sqrt{\frac{9x^2}{4} + \frac{3x^2}{4}} = \sqrt{\frac{12x^2}{4}} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}
\)

3. Найдем длину стороны CD:
\(
CD = \sqrt{\left(x — (-2x)\right)^2 + \left(0 — 0\right)^2} = \sqrt{(3x)^2} = 3x
\)

4. Найдем длину стороны AD:
\(
AD = \sqrt{\left(-\frac{x}{2} — (-2x)\right)^2 + \left(\frac{x \sqrt{3}}{2} — 0\right)^2}
\)
\(
AD = \sqrt{\left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x \sqrt{3}}{2}\right)^2}
\)
\(
AD = \sqrt{\frac{9x^2}{4} + \frac{3x^2}{4}} = \sqrt{\frac{12x^2}{4}} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}
\)

5. Сравним стороны AC и AD:
Мы видим, что \( AC = AD = x\sqrt{3} \). Таким образом, треугольник ACD является равнобедренным, так как две его стороны равны.

Треугольник ACD равнобедренный.