ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите диагональ АС четырёхугольника ABCD, если около него можно описать окружность, \(АВ = 3\) см, \(ВС = 4\) см, \(CD = 5\) см, \(AD = 6\) см.

AC² — AB² + BC² — 2 · AB · BC · cos β =
— 3² + 5² — 2 · 3 · 5 · cos β =
25 — 24 cos β = -6² + 60 cos β
84 cos β = -36 → cos β = -\(\frac{3}{7}\)
AC² = 25 + 24 · \(-\frac{3}{7}\) → AC = \(\sqrt{\frac{247}{7}}\) (см)

AC² — AB² + BC² — 2 · AB · cos β = — 3² + 5² + 2 · 3 · 5 · cos β = 25 — 24 cos β — 6² + 60 cos β

1) Раскроем первое выражение:
AC² — AB² + BC² — 2 · AB · cos β
= AC² — (3²) + (5²) — 2 · 3 · 5 · cos β
= AC² — 9 + 25 — 30 cos β
= AC² + 16 — 30 cos β

2) Приведем подобные члены:
AC² + 16 — 30 cos β = 25 — 24 cos β — 6² + 60 cos β
= 25 — 24 cos β — 36 + 60 cos β
= -11 + 36 cos β

3) Сгруппируем члены с cos β:
-30 cos β = -11 + 36 cos β
-30 cos β — 36 cos β = -11
-66 cos β = -11

4) Найдем cos β:
cos β = \(\frac{-11}{-66} = \frac{11}{66} = \frac{1}{6}\)

5) Подставим cos β в первое выражение:
AC² + 16 — 30 \cdot \frac{1}{6} = -11 + 36 \cdot \frac{1}{6}
AC² + 16 — 5 = -11 + 6
AC² + 11 = -5
AC² = -5 — 11 = -16

Ответ: AC = \(\sqrt{\frac{247}{7}}\) (см)