ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если \(АВ = 4\) см, \(AD = 3\) см, \(BD = 6\) см и \(\angle C = 40°\)?

Для определения возможности описания окружности вокруг четырёхугольника ABCD с \(AB = 4\) см, \(AD = 3\) см, \(BD = 6\) см и \(\angle C = 40^\circ\) необходимо проверить условие для вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов должна быть равна 180°.

Сначала находим угол \(A\) в треугольнике \(ABD\) с помощью теоремы косинусов: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)\). Подставляем значения: \(36 = 16 + 9 — 24 \cdot \cos(\angle A)\), что даёт \(\cos(\angle A) = -\frac{11}{24}\).

Затем используем сумму углов в треугольнике \(ABD\): \(\angle A + \angle B + \angle D = 180^\circ\). Поскольку \(\angle C = 40^\circ\), проверяем: \(\angle A + 40^\circ \neq 180^\circ\).

Таким образом, четвёрка ABCD не может быть вписана в окружность. Ответ: нет, окружность описать нельзя.

Для определения возможности описания окружности вокруг четырёхугольника ABCD с заданными сторонами и углом необходимо проверить, выполняется ли условие для вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов должна быть равна 180°.

Дано:
— \(AB = 4\) см
— \(AD = 3\) см
— \(BD = 6\) см
— \(\angle C = 40^\circ\)

1. Начнём с нахождения угла \(A\) в треугольнике \(ABD\) с использованием теоремы косинусов:

\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)\)

Подставляем известные значения:

\(6^2 = 4^2 + 3^2 — 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(\angle A)\)

Это даёт:

\(36 = 16 + 9 — 24 \cdot \cos(\angle A)\)

Упрощаем уравнение:

\(36 = 25 — 24 \cdot \cos(\angle A)\)

Переносим 25 на левую сторону:

\(36 — 25 = -24 \cdot \cos(\angle A)\)

\(11 = -24 \cdot \cos(\angle A)\)

Теперь делим обе стороны на -24:

\(\cos(\angle A) = -\frac{11}{24}\)

2. Теперь найдём угол \(B\). Для этого используем сумму углов в треугольнике \(ABD\):

\(\angle A + \angle B + \angle D = 180^\circ\)

3. Сначала найдём угол \(D\) с помощью теоремы синусов:

\(\frac{AB}{\sin(\angle D)} = \frac{AD}{\sin(\angle A)}\)

Подставляем известные значения:

\(\frac{4}{\sin(\angle D)} = \frac{3}{\sin(\angle A)}\)

Таким образом:

\(\sin(\angle D) = \frac{4 \cdot \sin(\angle A)}{3}\)

4. Теперь мы можем найти угол \(C\) и затем проверить условие для вписанного четырёхугольника. Известно, что:

\(\angle A + \angle C \neq 180^\circ\)

5. Подставим значение \(\angle C\):

\(\angle A + 40^\circ \neq 180^\circ\)

6. Таким образом, если сумма углов \(A\) и \(C\) не равна 180°, то четвёрка ABCD не может быть вписана в окружность.

Ответ: нет, окружность описать нельзя.