ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с углами \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\) и \(\angle D\). Пусть \(\angle A > \angle B\). Тогда \(\angle C > \angle D\). Обозначим диагонали \(AC\) и \(BD\) как \(d_1\) и \(d_2\). По теореме о диагоналях параллелограмма \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\). Применяя закон косинусов к треугольникам \(ABD\) и \(CDB\), получаем \(AB^2 = AD^2 + BD^2 — 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle A)\) и \(CD^2 = CB^2 + BD^2 — 2 \cdot CB \cdot BD \cdot \cos(\angle C)\). Поскольку \(\cos(\angle A) < \cos(\angle B)\), следует, что \(d_2 < d_1\). Значит, против большего угла лежит большая диагональ.
Теперь для обратного утверждения: если против большей диагонали \(AC\) лежит угол \(\angle A\), который больше угла \(\angle B\), то \(d_1 > d_2\). Это означает, что \(\angle A > \angle B\), и следовательно, \(\angle D > \angle C\). Таким образом, оба утверждения доказаны.
Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с углами \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\) и \(\angle D\). По свойству параллелограмма, противоположные углы равны, то есть \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). Предположим, что угол \(\angle A\) больше угла \(\angle B\), тогда \(\angle C\) также больше угла \(\angle D\).
Обозначим длины диагоналей \(AC\) и \(BD\) как \(d_1\) и \(d_2\) соответственно. Используя теорему о диагоналях параллелограмма, имеем:
\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\),
где \(a\) и \(b\) — длины сторон параллелограмма. Теперь применим закон косинусов для треугольника \(ABD\):
\(AB^2 = AD^2 + BD^2 — 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle A)\).
Аналогично для треугольника \(CDB\):
\(CD^2 = CB^2 + BD^2 — 2 \cdot CB \cdot BD \cdot \cos(\angle C)\).
Поскольку \(AB = CD\) и \(AD = BC\), можем записать:
\(a^2 = b^2 + d_2^2 — 2 \cdot b \cdot d_2 \cdot \cos(\angle A)\)
и
\(a^2 = b^2 + d_2^2 — 2 \cdot b \cdot d_2 \cdot \cos(\angle C)\).
Поскольку \(\angle A > \angle B\), то \(\cos(\angle A) < \cos(\angle B)\), что приводит к тому, что \(d_2 < d_1\). Таким образом, если \(\angle A > \angle B\), то \(d_1 > d_2\) и против большего угла лежит большая диагональ.
Теперь рассмотрим обратное утверждение. Пусть против большей диагонали \(AC\) лежит угол \(\angle A\), который больше угла \(\angle B\). Это означает, что:
\(d_1 > d_2\).
Так как угол \(\angle A\) больше, чем \(\angle B\), по свойству параллелограмма:
\(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
Следовательно, если \(\angle A > \angle B\), то \(\angle D > \angle C\). Это доказывает, что против большей диагонали действительно лежит больший угол.
Таким образом, оба утверждения доказаны: против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ, и обратное утверждение также верно.
