ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник со сторонами \(2mn\), \(m^2 — n^2\), \(m^2 + n^2\), где \(m\) и \(n\) — натуральные числа, причём \(m > n\), является прямоугольным.

Чтобы доказать, что треугольник со сторонами \(2mn\), \(m^2 — n^2\) и \(m^2 + n^2\) является прямоугольным, используем теорему Пифагора.

Пусть \(c = m^2 + n^2\) — самая длинная сторона. Проверим равенство:

\(
(m^2 + n^2)^2 = (2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2
\)

Слева получаем:

\(
(m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4
\)

Справа:

\(
(2mn)^2 = 4m^2n^2, \quad (m^2 — n^2)^2 = m^4 — 2m^2n^2 + n^4
\)

Складывая, получаем:

\(
4m^2n^2 + m^4 — 2m^2n^2 + n^4 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4
\)

Таким образом, обе стороны равны, что подтверждает, что треугольник является прямоугольным.

Для доказательства того, что треугольник со сторонами \(2mn\), \(m^2 — n^2\) и \(m^2 + n^2\) является прямоугольным, необходимо показать, что выполняется теорема Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным, если квадрат длины самой длинной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон. В данном случае самой длинной стороной будет \(m^2 + n^2\).

Проверим равенство:

\(
(m^2 + n^2)^2 = (2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2
\)

Теперь вычислим обе части этого равенства.

1. **Левая часть**:
\(
(m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4
\)

2. **Правая часть**:
\(
(2mn)^2 = 4m^2n^2
\)
\(
(m^2 — n^2)^2 = m^4 — 2m^2n^2 + n^4
\)
Теперь сложим эти два выражения:
\(
4m^2n^2 + (m^4 — 2m^2n^2 + n^4) = m^4 + 2m^2n^2 + n^4
\)

Таким образом, правая часть равенства становится:
\(
4m^2n^2 + m^4 — 2m^2n^2 + n^4 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4
\)

Теперь мы видим, что левая и правая части равенства совпадают:
\(
(m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4
\)

Следовательно, выполняется равенство:

\(
(m^2 + n^2)^2 = (2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2
\)

Это доказывает, что треугольник со сторонами \(2mn\), \(m^2 — n^2\) и \(m^2 + n^2\) является прямоугольным треугольником.