ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что в треугольнике АВС выполняется равенство \(m^2 + m^2 + m^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}\).

$$\frac{1}{4}\left(2b^2 2c^2 — a^2\right) + \frac{1}{4}\left(2a^2 + 2c^2 — b^2\right) + \frac{1}{4}\left(2a^2 + 2b^2 — c^2\right)$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2b^2 2c^2 — a^2 + 2a^2 + 2c^2 — b^2 + 2a^2 + 2b^2 — c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$$

Упрощаем числитель:

$$2b^2 2c^2 — a^2 + 2a^2 + 2c^2 — b^2 + 2a^2 + 2b^2 — c^2 = 3b^2 + 3c^2 + 3a^2$$

Получаем итоговое выражение:

$$\frac{3b^2 + 3c^2 + 3a^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 3$$

Чтобы доказать равенство \(m^2 + m^2 + m^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}\) в треугольнике \(ABC\), начнем с определения медиан. Пусть \(m_a\), \(m_b\) и \(m_c\) — длины медиан, проведенных из вершин \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно. Формулы для медиан выглядят следующим образом:

\(m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\)

\(m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}\)

\(m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}\)

Теперь найдем сумму квадратов медиан:

\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}\right)^2 +\)
\(+ \left(\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}\right)^2\)

Упрощая каждую из медиан, получаем:

\(m_a^2 = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 — a^2)\)

\(m_b^2 = \frac{1}{4}(2a^2 + 2c^2 — b^2)\)

\(m_c^2 = \frac{1}{4}(2a^2 + 2b^2 — c^2)\)

Теперь сложим эти выражения:

\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{1}{4} \left((2b^2 + 2c^2 — a^2) + (2a^2 + 2c^2 — b^2) + (2a^2 + 2b^2 — c^2)\right)\)

Соберем подобные слагаемые:

\(= \frac{1}{4} \left(2b^2 + 2c^2 — a^2 + 2a^2 + 2c^2 — b^2 + 2a^2 + 2b^2 — c^2\right)\)

\(= \frac{1}{4} \left(4a^2 + 4b^2 + 4c^2 — (a^2 + b^2 + c^2)\right)\)

Это упрощается до:

\(= \frac{1}{4} \left(3a^2 + 3b^2 + 3c^2\right)\)

Теперь можем выразить сумму квадратов медиан как:

\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4}\)

Если мы обозначим \(m^2\) как среднее значение квадратов медиан, то:

\(3m^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4}\)

Делим обе стороны на 3:

\(m^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4}\)

Таким образом, равенство \(m^2 + m^2 + m^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}\) выполняется, если мы рассматриваем среднее значение квадратов медиан треугольника.