ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если в треугольнике АВС выполняется равенство \(m^2 + mg = 5m^2\), то этот треугольник является прямоугольным.

Если в треугольнике \(ABC\) выполняется равенство \(m^2 + mg = 5m^2\), то:

1. Переносим все члены на одну сторону: \(mg = 5m^2 — m^2\).
2. Упрощаем: \(mg = 4m^2\).
3. Делим обе стороны на \(m\) (при \(m \neq 0\)): \(g = 4m\).

Это указывает на то, что высота \(g\) в 4 раза больше основания \(m\). При этом треугольник \(ABC\) является прямоугольным.

Дано равенство в треугольнике \(ABC\): \(m^2 + mg = 5m^2\).

1. Начнем с того, что упростим данное равенство. Переносим все члены в одну сторону:
\(
mg = 5m^2 — m^2.
\)
2. Упрощаем правую часть:
\(
mg = 4m^2.
\)
3. Теперь, если \(m \neq 0\), можем разделить обе стороны на \(m\):
\(
g = 4m.
\)
Это означает, что высота \(g\), проведенная из вершины \(A\) на сторону \(BC\), в 4 раза больше длины стороны \(BC\) (которая равна \(m\)).

4. Чтобы понять, что треугольник является прямоугольным, вспомним, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, связана с основаниями. В нашем случае, если высота \(g\) в 4 раза больше основания \(m\), это указывает на то, что угол между высотой и основанием равен \(90^\circ\).

5. Применим теорему Пифагора для проверки. В прямоугольном треугольнике выполняется следующее соотношение:
\(
a^2 + b^2 = c^2,
\)
где \(c\) — гипотенуза, а \(a\) и \(b\) — катеты. В нашем случае, если принять \(m\) за один из катетов, то высота \(g\) будет перпендикулярна этому катету.

6. Поскольку \(g = 4m\), мы можем рассмотреть, что при прямом угле высота всегда будет больше, чем основание, и это подтверждает, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным.

7. Следовательно, из начального равенства \(m^2 + mg = 5m^2\) мы пришли к выводу, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным, так как условие высоты в 4 раза больше основания возможно только в прямоугольном треугольнике.

Таким образом, треугольник \(ABC\) является прямоугольным.